Question

已知關于x的方程x²-10x+k=0有實數根，求滿足下列條件的k的值：
（1）有兩個實數根；
（2）有兩個正實數根；    
（3）有一個正數根和一個負數根；
（4）兩個根都小于2．

Answer 1

考點：根與系數的關系,根的判別式,拋物線與x軸的交點

專題：

分析：由關于x的一元二次方程x²-10x+k=0有實數根，根據根的判別式的意義可知道△≥0，求出k的取值范圍，再結合一元二次方程根與系數的關系可以求得答案．
（1）有兩個實數根，△≥0，即為k的取值范圍；
（2）有兩個正實數根，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，
（3）有一個正數根和一個負數根，x₁•x₂＜0，
（4）兩個根都小于2，因為x₁+x₂=10，所以方程無解．

解答：解：關于x的一元二次方程x²-10x+k=0有實數根，
根據根的判別式的意義可知道△≥0，
則100-4k≥0，
解得k≤25．
（1）有兩個實數根，△≥0，
根據根的判別式的意義可知道△≥0，
則100-4k≥0，
解得k≤25．
（2）有兩個正實數根，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＜0，
即：x₁+x₂=10＞0，x₁•x₂=k＞0，
故它的取值范圍是0＜k＜25．
（3）有一個正數根和一個負數根，x₁•x₂＜0，
即：k＜0，
故它的取值范圍是k＜0．
（4）兩個根都小于2，因為x₁+x₂=10，所以方程無解．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程沒有實數根；也考查了一元二次方程的定義．