Question

已知：關于x的方程kx²-（3k-1）x+2（k-1）=0
（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）若此方程有兩個實數(shù)根x₁，x₂，且x₁²+x₂²=4，求k的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關系

專題：

分析：（1）分兩種情況討論：①當k=0時，方程是一元一次方程，有實數(shù)根；②當k≠0時，方程是一元二次方程，所以證明判別式是非負數(shù)即可；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關系表示出x₁+x₂，x₁x₂，再把所求代數(shù)式利用完全平方公式變形即可求解．

解答：（1）證明：①當k=0時，x-2=0，得x=2，有實數(shù)根；
②當k≠0時，方程是一元二次方程，
∵△=（3k-1）²-4k×2（k-1）=（k+1）²≥0，
∴無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
綜上所述，無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；

（2）解：∵方程有兩個實數(shù)根，
∴k≠0，方程為一元二次方程．
由已知可得：x1+x2=

3k-1

k

，x1x2=

2(k-1)

k

，
∵x12+x22=4，
∴(

3k-1

k

)2-

4(k-1)

k

=4，
整理得：k²-2k+1=0，即（k-1）²=0，
∴k=1．

點評：本題主要考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系的應用，同時考查了學生的綜合應用能力及推理能力．