Question

已知，在正方形ABCD中，⊙O與正方形的邊AB、AD相切，對角線BD交⊙O與M、N兩點，且MN=2

3

，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

考點：切線的性質,正方形的性質

專題：

分析：由條件可知A、O、C三點在一條直線上，利用等腰三角形的性質可求得OM的長，即圓的半徑，在Rt△APO中可求出AO，則可求得正方形對角線的長，可求得正方形的面積．

解答：解：連接AC，交BD于點E，連接OM、OE．
∵AB、AD是正方形的切線，
∴AO平分∠BAD，
∴A、O、C在一條直線上，
∴OE⊥MN，
∴ME=NE=OE=

3

，
∴OM=OP=

6

，
連接OP，則OP⊥AB，且AP=OP=

6

，
∴AO=2

3

，
∴AE=AO+OE=2

3

+

3

=3

3

，
∴AC=BD=6

3

，
∴S_{正方形ABCD}=

1

2

AC•BD=

1

2

×6

3

×6

3

=54．

點評：本題主要考查切線的性質及正方的性質，由條件得出A、O、C三點在一條直線上是解題的關鍵．