Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與X軸的交點為A,與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC．現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設(shè)動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）．

（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點的坐標；

（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；

（3）當時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由；

（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

【答案】(1)A(18,0),B(0,10),C(8,10),頂點坐標為；（2）t=；（3）△PQF的面積總為90；（4）.

【解析】試題分析：（1）已知拋物線的解析式，當x=0時，可求得B的坐標；由于BC∥OA，把B的縱坐標代入拋物線的解析式，可求出C的坐標；當y=0時，可求出A的坐標．求頂點坐標時用公式法或配方法都可以；

（2）當四邊形ACQP是平行四邊形時，AP、CQ需滿足平行且相等的條件．已知BC∥OA，只需求t為何值時，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；

（3）當0<t<時，根據(jù)OA=18，P點的速度為4單位/秒，可得出P點總在OA上運動．△PQF中，Q到PF的距離是定值即OB的長，因此只需看PF的值是否有變化即可得出S△PQF是否為定值，已知QC∥PF，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出： ，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的長為定值即PF的長為定值，因此△PQF的面積是不會變化的．其面積的值可用OAOB求出；

（4）可先用t表示出P，F，Q的坐標，然后根據(jù)坐標系中兩點間的距離公式得出PF2，PQ2，FQ2，進而可分三種情況進行討論：①△PFQ以PF為斜邊．則PF2=PQ2+FQ2，可求出t的值；②△PFQ以PQ為斜邊，方法同①；③△PFQ以FQ為斜邊，方法同①．綜合三種情況即可得出符合條件的t的值．

試題解析：（1），

令y=0，得x28x180=0，

即(x18)(x+10)=0，

∴x=18或x=10.

∴A(18，0)

在中，令x=0得y=10，

即B(0，10).

由于BC∥OA，

故點C的縱坐標為10，

由10=得，x=8或x=0，

即C(8，10)且易求出頂點坐標為(4，)，

于是，A(18，0)，B(0，10)，C(8，10)，頂點坐標為(4，)；

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA.

故只要QC=PA即可，

而PA=184t，CQ=t，

故184t=t得t=；

（3）設(shè)點P運動t秒，則OP=4t，CQ=t，0<t<4.5，

說明P在線段OA上，不與點OA、重合，

由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，

故

∵△AEF∽△CEQ，

∴AF:CQ=AE:EC=DP:QD=4:1，

∴AF=4t=OP，

∴PF=PA+AF=PA+OP=18

又∵點Q到直線PF的距離d=10，

∴S△PQF=PFd=×18×10=90，

于是△PQF的面積總為90；

（4）設(shè)點P運動了t秒，則P(4t，0)，F(18+4t，0)，Q(8t，10)t∈(0，4.5).

∴PQ2=(4t8+t)2+102=(5t8)2+100

FQ2=(18+4t8+t)2+102=(5t+10)2+100.

①若FP=FQ，則182=(5t+10)2+100.

即25(t+2)2=224，(t+2)2=.

∵0t4.5，

∴2t+26.5，

∴t+2==.

∴t=2，

②若QP=QF，則(5t8)2+100=(5t+10)2+100.

即(5t8)2=(5t+10)2，無0t4.5的t滿足。

③若PQ=PF，則(5t8)2+100=182.

即(5t8)2=224，由于≈15，又05t22.5，

∴85t814.5，而14.52=()2=<224.

故無0t4.5的t滿足此方程。

綜上所述，當t=2時，△PQF為等腰三角形.