Question

小明是個(gè)愛學(xué)習(xí)的孩子，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一道思考題：請將如圖放置的邊長為a的正方形ABCD和斜邊為AE=2b（2b＜a）的等腰直角三角形FAE剪兩刀，重新拼成一個(gè)面積為a²+b²的正方形。他找來硬紙片和剪刀進(jìn)行探索。先在BA上選取點(diǎn)G，使BG=b，連結(jié)CG，剪下△BCG并繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CDH的位置，接下來的問題是：

（1）EH的長是多少？（用含a，b的式子表示）
（2）能否將△AGF剪下，繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)到△EHF的位置？（求證：△AGF≌△EHF）
（3）四邊形GCHF是正方形嗎？面積是否為a²+b²。
請你與小明一起解答以上問題，并說明小明的探索是否成功？

Answer 1

解：（1）∵AD=AB=a，DH=BG=b，AE=2b
∴EH=AD+DH―AE=a+b―2b=a―b；
（2）∵AG=AB―BG=a―b，EH=a―b
∴AG=EH
∵∠FAG=45°+90°=135°，∠FEH=180°-45°=135°
∴∠FAG=∠FEH
∵△AFE是等腰直角三角形
∴AF=FE
在△AGF和△EHF中
∴△AGF≌△EHF，即能將△AGF繞F旋轉(zhuǎn)到△EHF的位置；
（3）
作FI⊥AD，垂足為I
∵△AFE是等腰直角三角形
∴FI是斜邊上的中線
∴FI=IE=AE=·2b=b
∴IH=IE+EH=b+a-b=a
∴FI=DH=b，IH=DC=a
又∵∠FIH=HDC=90°
∴△FIH≌△HDC（SAS）
∴FH=HC①
∵△AGF≌△EHF，△BCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CDH的位置
∴FG=FH②，GC=HC③
由①②③得FH=HC=CG=FG
∴四邊形FHCG是菱形
又由△AGF≌△EHF得：∠1=∠2
∠1+∠GFE=∠2+∠GFE=Rt∠
∴四邊形FHCG是正方形
在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理：GC²= BC²+BG²=a²+b²
∴正方形GCHF的面積= GC²= a²+b²
∴小明的探索能成功。