小明是個愛學(xué)習(xí)的孩子,他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一道思考題:請將如圖放置的邊長為a的正方形ABCD和斜邊為AE=2b(2b<a)的等腰直角三角形FAE剪兩刀,重新拼成一個面積為a2+b2的正方形.他找來硬紙片和剪刀進行精英家教網(wǎng)探索.先在BA上選取點G,使BG=b,連接CG,剪下△BCG并繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CDH的位置,接下來的問題是:
(1)EH的長是多少?(用含a,b的式子表示);
(2)能否將△AGF剪下,繞點F旋轉(zhuǎn)到△EHF的位置?(求證:△AGF≌△EHF);
(3)四邊形GCHF是正方形嗎?面積是否為a2+b2?請你與小明一起解答以上問題,并說明小明的探索是否成功?
分析:(1)由圖知:EH=AD+DH-AE.
(2)通過證明△AGF≌△EHF,說明△AGF繞F旋能轉(zhuǎn)到△EHF的位置.
(3)作FI⊥AD,根據(jù)△AGF≌△EHF,△AGF≌△EHF證明四邊形FHCG是正方形.再通過勾股定理得到正方形GCHF的面積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵AD=AB=a,DH=BG=b,AE=2b,
∴EH=AD+DH-AE=a+b-2b=a-b.(2分)

(2)∵AG=AB-BG=a-b,EH=a-b,
∴AG=EH.(3分)
∵∠FAG=45°+90°=135°,
∠FEH=180°-45°=135°,
∴∠FAG=∠FEH.(4分)
∵△AFE是等腰直角三角形,
∴AF=FE.(5分)
在△AGF和△EHF中
AF=EF
∠FAG=∠FEH
AG=EH
,
∴△AGF≌△EHF,即能將△AGF繞F旋轉(zhuǎn)到△EHF的位置.(7分)

(3)作FI⊥AD,垂足為I;
∵△AFE是等腰直角三角形
∴FI是斜邊上的中線∴FI=IE=
1
2
AE=
1
2
•2b=b
∴IH=IE+EH=b+a-b=a
∴FI=DH=b,IH=DC=a,又∵∠FIH=HDC=90°
∴△FIH≌△HDC(SAS)
∴FH=HC①(10分)
∵△AGF≌△EHF,△BCG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CDH的位置
∴FG=FH②,GC=HC③
由①②③得FH=HC=CG=FG
∴四邊形FHCG是菱形(12分)
又由△AGF≌△EHF得:∠1=∠2
∠1+∠GFE=∠2+∠GFE=90°
∴四邊形FHCG是正方形.(13分)
在Rt△BCG中,根據(jù)勾股定理:GC2=BC2+BG2=a2+b2
∴正方形GCHF的面積=GC2=a2+b2
∴小明的探索能成功.(14分)
注:用其他方法解答,只要正確,參照標(biāo)準(zhǔn)給分.
點評:本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、勾股定理等知識.
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(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次出現(xiàn)的圖形所有可能的結(jié)果(用A、B、C、D表示);
(2)求兩次出現(xiàn)的圖形能拼成軸對稱圖形的概率.
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