Question

 已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，AE⊥DE，AB=12，BE=，F(xiàn)為線段BE上一點(diǎn)，EF=7，連接AF。如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G在線段DE上。如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q為直線GN與線段AE的交點(diǎn)，連接PQ。當(dāng)點(diǎn)G到達(dá)線段AE上時(shí)，△GMN和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答問(wèn)題：

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，求t的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，

∴由勾股定理，得NM=12。

當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，如圖，

此時(shí)，GG′=MN=12。

∵△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，

∴t=12秒。

（2）存在。

    由∠NGM=90⁰，NG=6，MG=，得∠NMG=30⁰，

由矩形ABCD中，AB=12，BE=，得AE=24，∠AEB=30⁰。

∴AE∥GM。

由（1）知，當(dāng)0＜t≤12時(shí)，線段GN與線段AE相交，

②若∠AQP=90⁰，如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)I。

根據(jù)題意，知AP=2 t ，EN=t，

由①知，。

在△APQ中，PQ=，AQ=

由，得，解得。

∵IH=AB=12，

∴，解得。

∴，∴當(dāng)時(shí)，△APQ是直角三角形。

綜上所述，存在或，使△APQ是直角三角形。

【考點(diǎn)】單動(dòng)點(diǎn)和面動(dòng)問(wèn)題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的判定，分類思想的應(yīng)用。

【分析】（1）由勾股定理，求出MN的長(zhǎng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到AE上時(shí)的距離MN的長(zhǎng)，從而除以速度即得t的值。

   （2）分∠APQ=90⁰，和∠AQP=90⁰兩種情況討論即可。