Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，BE⊥AC于F，連接DF，下列4個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝，其中結(jié)論正確的序號是______．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①正確．只要證明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可；

②正確．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出＝，由AE＝AD＝BC，推出＝，即CF＝2AF；

③正確．只要證明DM垂直平分CF，即可證明；

④正確．設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a，可得tan∠CAD＝＝＝．

如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，

∵BE⊥AC于點(diǎn)F，

∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，

∴CF＝2AF，故②正確；

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM＝DE＝BC，

∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF＝DC，故③正確；

設(shè)AE＝a，AB＝b，則AD＝2a，

由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a，

∴tan∠CAD＝＝＝．故④正確；

故答案為①②③④．