Question

13．拋物線y₁=mx²+（m-3）x-3（m＞0）與x軸交于A、B兩點，且點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C，OB=OC．
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）將拋物線y₁向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，若點C在直線y₂=-3x+t上，直線y₂向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的解析式易求點C的坐標，進而可求出點B的坐標，把點B的坐標代入拋物線的解析式可求出m的值，則拋物線的解析式也可求出；
（2）由點C在直線y₂=-3x+t上，可知t=-3，若y₁向左平移n個單位后，則表達式為：y₃=（x-1+n）²-4，若y₂向下平移n個單位后，則表達式為：y₄=-3x-3-n，要使平移后直線與P有公共點，則當x=1-n，y₃≤y₄，進而可求出n的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線與y軸交于點C，
∴C（0，-3）．
∵拋物線與x軸交于A、B兩點，OB=OC，
∴B（3，0）或B（-3，0）．
∵點A在點B的左側(cè)，m＞0，
∴拋物線經(jīng)過點B（3，0）．
∴0=9m+3（m-3）-3．
∴m=1．
∴拋物線的表達式為y₁=x²-2x-3；
（2）由（1）可知：y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∵點C在直線y₂=-3x+t上，
∴t=-3，
∴y₂=-3x-3，
y₁向左平移n個單位后，則表達式為：y₃=（x-1+n）²-4，
則當x≥1-n時，y隨x增大而增大，
y₂向下平移n個單位后，則表達式為：y₄=-3x-3-n，
要使平移后直線與P有公共點，則當x=1-n，y₃≤y₄，
即（1-n-1+n）²-4≤-3（1-n）-3-n，
解得：n≥1．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)和坐標軸的交點問題以及二次函數(shù)增減性等知識，熟練掌握二次函數(shù)的各種性質(zhì)特別是平行的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．