Question

（2013•工業(yè)園區(qū)二模）已知，如圖1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時，求AE的長和△FCG的面積；
（2）如圖2，設(shè)AE=x，△FCG的面積=S₁，求S₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式與S₁的最大值；
（3）在（2）的條件下，如果矩形EFGH的頂點F始終在矩形ABCD內(nèi)部，連接BF，記△BEF的面積為S₂，△BCF的面積為S₃，試說明6S₁+3S₂-2S₃是常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）過點F作FM⊥CD于M，利用AAS證明△AEH≌△DHG≌△MGF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△FCG的面積；
（2）過點F作FM⊥CD于M．根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AEH∽△DHG，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到

DG

AH

=

DH

AE

，則DG=

8

x

，CG=8-

8

x

，再根據(jù)三角形的面積公式得到△FCG的面積=S₁=8-

8

x

，結(jié)合自變量x的取值范圍，即可求出S₁的最大值；
（3）類似上題求得S₁=8-

8

x

，S₂=16-2x，S₃=24-3x-

24

x

，將它們代入6S₁+3S₂-2S₃，計算即可求出其值．

解答：解：（1）過點F作FM⊥CD于M．
∵四邊形EFGH為正方形，四邊形ABCD是矩形，
∴HE=GH=FG，∠EHG=∠HGF=90°，∠A=∠D=90°，
∴∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，∠DHG=∠MGF=90°-∠HGD，
∴∠AEH=∠DHG=∠MGF．
在△AEH、△DHG與△MGF中，

∠A=∠D=∠GMF=90° ∠AEH=∠DHG=∠MGF HE=GH=FG

，
∴△AEH≌△DHG≌△MGF（AAS），
∴AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，
∴△FCG的面積=

1

2

•CG•FM=

1

2

×6×2=6；

（2）過點F作FM⊥CD于M．
在△AEH與△DHG中，
∵∠A=∠D=90°，∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，
∴△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

DH

AE

，即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

，
∴CG=DC-DG=8-

8

x

，
∵FM=2，
∴△FCG的面積=S₁=

1

2

•CG•FM=

1

2

（8-

8

x

）×2=8-

8

x

，
∵0＜x≤8，
∴當(dāng)x=8時，S₁的最大值為7；

（3）由（2）可得S₁=

1

2

（8-

8

x

）×2=8-

8

x

．
過點F作FN⊥AB于N，易證△NFE≌△DHG，
∴FN=HD=4，EN=GD=

8

x

，
∵BE=AB-AE=8-x，
∴S₂=

1

2

•BE•FN=

1

2

（8-x）×4=16-2x；
過點F作FP⊥BC于P，則四邊形FNBP是矩形，
∴FP=BN=AB-AE-EN=8-x-

8

x

，
∴S₃=

1

2

•FP•BC=

1

2

（8-x-

8

x

）×6=24-3x-

24

x

，
∴6S₁+3S₂-2S₃
=6（8-

8

x

）+3（16-2x）-2（24-3x-

24

x

）
=48-

48

x

+48-6x-48+6x+

48

x

=48．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，代數(shù)式的變形與計算能力，綜合性較強(qiáng)，難度適中．通過證明三角形全等與相似得到邊之間的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．