Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．拋物線y=ax²+$\frac{3}{4}x+c$經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)．
（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求△ABE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）在（2）的前提下，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)M，連結(jié)CM．點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，點(diǎn)P在拋物線上．當(dāng)以P、Q、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線AB的解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得出關(guān)于a、c的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F交直線AB與點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{4}$m+3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{3}{4}$m+3），根據(jù)S_△ABE=S_△BEM+S_△AEM即可得出S關(guān)于m的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-$\frac{3}{8}{n}^{2}+\frac{3}{4}$n+3），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，d），以P、Q、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況：①CM為對角線，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出n的一元一次方程，解方程即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；②CM為一條邊，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可依據(jù)PQ的橫坐標(biāo)之差等于CM的橫坐標(biāo)之差找出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可得出n值，由n值即可解決問題．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
即B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
當(dāng)y=0時(shí)，有-$\frac{3}{4}$x+3=0，
解得x=4，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，
得$\left\{\begin{array}{l}{16a+3+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{4}$x+3．
（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F交直線AB與點(diǎn)M，如圖1所示．

∵點(diǎn)E是直線AB上方拋物線上的點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{4}$m+3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-$\frac{3}{4}$m+3），
∴EM=-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{4}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{2}$m，
∴S_△ABE=S_△BEM+S_△AEM=$\frac{1}{2}$ME•OA=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{8}{m}^{2}+\frac{3}{2}$m）×4=-$\frac{3}{4}{m}^{2}$+3m=-$\frac{3}{4}$（m-2）²+3，
∴當(dāng)m=2時(shí)，△ABE面積最大，且最大值為3，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．
（3）拋物線的對稱軸為x=-$\frac{\frac{3}{4}}{2×（-\frac{3}{8}）}$=1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-$\frac{3}{8}{n}^{2}+\frac{3}{4}$n+3），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，d）．
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3），
∴直線EM的解析式為x=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，$\frac{3}{2}$）．
∵令y=0，則有-$\frac{3}{8}{x}^{2}+\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-2，或x=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），
當(dāng)以P、Q、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況：
①如圖2所示，線段CM為對角線，且CM的中點(diǎn)為點(diǎn)N．

∵點(diǎn)C（-2，0），點(diǎn)M（2，$\frac{3}{2}$），
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{4}$）．
又∵點(diǎn)N為線段PQ的中點(diǎn)，
∴有$\frac{n+1}{2}$=0，解得n=-1，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，$\frac{15}{8}$）；
②線段CM為一條邊時(shí)，PQ的橫坐標(biāo)之差等于CM的橫坐標(biāo)之差，
即|1-n|=|2-（-2）|，
解得：n=-3或n=5，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{21}{8}$）或（5，-$\frac{21}{8}$）．
綜上可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{21}{8}$），（5，-$\frac{21}{8}$）和（-1，$\frac{15}{8}$）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、平行四邊形的性質(zhì)以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用三角形的面積公式找出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況考慮．本題屬于中檔題，（1）難度不大；（2）借助了二次函數(shù)的性質(zhì)來解決最值問題，有點(diǎn)難度；（3）巧妙利用平行四邊形的性質(zhì)，找出關(guān)于n的一次方程，此問難度不小，易失分．