Question

9．兩數(shù)和為14，積為-1，則這兩個(gè)數(shù)為7+5$\sqrt{2}$，7-5$\sqrt{2}$；x²+（2k+1）x+k²-2=0的兩根平方和為11，則k=1．

Answer 1

分析 設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為a、b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到以a、b為根的一元二次方程x²-14x-1=0，然后解方程即可；設(shè)x²+（2k+1）x+k²-2=0的兩根為m、n，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=-（2k+1），mn=k²-2，由m²+n²=11得到（m+n）²-2mn=-11，則（2k+1）²-2（k²-2）=11，解得k₁=-3，k₂=1，然后根據(jù)判別式的意義確定k的值．

解答 解：設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為a、b，
以a、b為根的一元二次方程為x²-14x-1=0，
解得a=7+5$\sqrt{2}$，b=7-5$\sqrt{2}$；
設(shè)x²+（2k+1）x+k²-2=0的兩根為m、n，
則m+n=-（2k+1），mn=k²-2，
∵m²+n²=11，
∴（m+n）²-2mn=-11，
∴（2k+1）²-2（k²-2）=11，解得k₁=-3，k₂=1，
當(dāng)k=-3時(shí)，方程化為x²-5x+7=0，△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)解，
∴k的值為1．
故答案為7+5$\sqrt{2}$，7-5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．