Question

【題目】點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，連AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，若AI=2CD，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接EI，IC，若IC=6，ID=5，則IE的長為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

由已知條件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過點(diǎn)D做DF⊥IC與點(diǎn)F，可得四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF,即可求出IE的長.

解：

如圖：I為△ABC的內(nèi)心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,

又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD

其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，

∠DIC=∠ICD

ID=CD, ID=BD=DC=5, 可得AI=2CD=10

可得I、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)位圓心的圓上，過點(diǎn)D做DF⊥IC與點(diǎn)F,

可得IF=FC(垂經(jīng)定理)，

在RT△IFD中，,

又在△AIC中，AE=EC, IF=FC,

EF為△AIC的中位線，

EF∥AD,即EF∥ID, 且EF==5=ID,

四邊形EIDF為平行四邊形，可得IE=DF=4,

故答案：4.