Question

【題目】已知∠A=Rt∠，AB=4，AE=2，點(diǎn)C在線段AE上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A點(diǎn)E重合），過(guò)點(diǎn)E作ED⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于D，則的最大值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接BE，作BE的中點(diǎn)O，連接OA、OD．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OA=OB=OE，OD=OB=OE，從而得到A、B、E、D四點(diǎn)在⊙O上，過(guò)O作OG⊥AE于G，延長(zhǎng)OG交⊙O于D，則此時(shí)DG最大．易證△ABC∽△GDC，得到，故當(dāng)DG最大時(shí)，最大．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，得到半徑的長(zhǎng)．由三角形中位線得到OG的長(zhǎng)，從而得到DG的最大長(zhǎng)度，即可得到結(jié)論．

連接BE，作BE的中點(diǎn)O，連接OA、OD．

∵∠A=∠BDE=90°，AO是Rt△ABE斜邊上的中線，∴OA=OB=OE，同理OD=OB=OE，∴A、B、E、D四點(diǎn)在⊙O上，過(guò)O作OG⊥AE于G，延長(zhǎng)OG交⊙O于D，則此時(shí)DG最大．

∵∠A=90°，∴∠A=∠DGC=90°．

∵∠ACB=∠DCG，∴△ABC∽△GDC，∴，∴當(dāng)DG最大時(shí)，最大．

∵BE==10，∴OB=OE=OD=5．

∵OG⊥AE，∴AG=GE．

∵BO=EO，∴OG為△ABE的中位線，∴OG=AB=2，∴DG=OD－OG=5－2=3，∴．

故選C．