Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）線段BC上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；
（3）若點E在x軸上，點F在拋物線上．是否存在以C，D，E，F(xiàn)為頂點且以CD為一邊的平行四邊形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點A、C坐標(biāo)代入求出函數(shù)解析式；
（2）先求出直線AB的函數(shù)解析式，然后設(shè)點P坐標(biāo)為（a，b），并求出對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)，然后求出線段PQ的最大值；
（3）本題應(yīng)分情況討論：
①將CD平移，令C點落在x軸（即E點）、D點落在拋物線（即F點）上，可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出F點縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求得F點坐標(biāo)；
②過C作x軸的平行線，與拋物線的交點符合F點的要求，此時F、C的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線的解析式中即可求出F點坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線過點A（-1，0），C（0，2），
∴

- 1 2 -m+n=0 n=2

，
解得：

m= 3 2 n=2

，
∴函數(shù)解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；
（2）由（1）得，y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
令y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=0，
解得：x=-1或x=4，
即點B（4，0），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
則有：

0=4k+b 2=b

，
解得：

k=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x+2，
設(shè)點P橫坐標(biāo)為a，
則點P縱坐標(biāo)為=-

1

2

a+2，
∵PQ∥y軸，
∴點Q的橫坐標(biāo)為a，縱坐標(biāo)為-

1

2

a²+

3

2

a+2，
PQ=-

1

2

a²+

3

2

a+2-（-

1

2

a+2）=-

1

2

a²+2a=-

1

2

（a-2）²+2，
∵-

1

2

＜0，開口向下，有最大值，
∴當(dāng)a=2時，PQ有最大值2；
（3）如圖所示，
①平移直線CD交x軸于點E，交x軸下方的拋物線于點F，當(dāng)CD=E₁F₁時，四邊形CDEF為平行四邊形，
∵C（0，2）
∴設(shè)F（x，-2），代入解析式得：-

1

2

x²+

3

2

x+2=-2，
解得：x=

3± 41

2

，
此時存在點F₁（

3- 41

2

，-2），F(xiàn)₂（

3+ 41

2

，-2）；
②過點C作CF₃∥x軸交拋物線于點F₃，過點F₃作F₃E₃∥CD交x軸于點E₃，此時四邊形CDE₃F₃為平行四邊形，
此時F₃縱坐標(biāo)為2，
將縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得：-

1

2

x²+

3

2

x+2=2，
解得：x=0或x=3，
此時存在點F₃（3，2）．
綜上所述，存在3個點符合題意，坐標(biāo)分別是F₁（

3- 41

2

，-2），F(xiàn)₂（

3+ 41

2

，-2），F(xiàn)₃（3，2）．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，綜合性強，難度較大，對學(xué)生綜合運用知識的能力要求較高．