Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l：y=-$\frac{1}{2}$x+2交x軸于點A，交y軸于點B，直線l上的點P（m，n）在第一象限內(nèi)，設(shè)△AOP的面積是S．
（1）寫出S與m之間的函數(shù)表達式，并寫出m的取值范圍．
（2）當(dāng)S=3時，求點P的坐標(biāo)．
（3）若直線OP平分△AOB的面積，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A、P的坐標(biāo)求得△AOP的底邊與高線的長度；然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將S=3代入（1）中所求的式子，即可求出點P的坐標(biāo)；
（3）由直線OP平分△AOB的面積，可知OP為△AOB的中線，點P為AB的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可求解．

解答 解：∵直線l：y=-$\frac{1}{2}$x+2交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A（4，0），B（0，2），
∵P（m，n）
∴S=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$（4-m）=4-m，即S=4-m．
∵點P（m，n）在第一象限內(nèi)，∴m+2n=4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{-\frac{1}{2}m+2＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜4；

（2）當(dāng)S=3時，4-m=3，
解得m=1，
此時y=$\frac{1}{2}$（4-1）=$\frac{3}{2}$，
故點P的坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）若直線OP平分△AOB的面積，則點P為AB的中點．
∵A（4，0），B（0，2），
∴點P的坐標(biāo)為（2，1）．

點評 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中線的性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．