Question

14．如圖，直線l：y=-$\frac{3}{4}$x+b與x軸、y軸分別相交于點A、C，且△AOC的周長為24．
（1）求直線l的函數(shù)關系式；
（2）過點（1，0）作x軸的垂線MN，求直線l關于直線MN對稱的直線l′的函數(shù)關系式；
（3）若在直線1上存在一點P，使△POA的面積是△AOC的2倍，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求得OC=6，OA=8，即可求得b=6；
（2）求得C和A關于直線x=1的對稱點為（2，6），（-6，0），然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（3）根據(jù)題意求得P的縱坐標為±12，代入y=-$\frac{3}{4}$x+6即可求得橫坐標．

解答 解：（1）∵直線l：y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{3}{4}$，
設OC=3m，OA=4m，
∴AC=5m，
∵△AOC的周長為24，
∴3m+4m+5m=24，
解得m=2，
∴OC=6，OA=8，
∴C（0，6）A（8，0），
∴b=6，
∴直線l的函數(shù)關系式為y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）∵C（0，6），A（8，0），
∴C和A關于直線x=1的對稱點為（2，6），（-6，0），
設直線l′的函數(shù)關系式為y=mx+n，
把（2，6），（-6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6=2m+n}\\{0=-6m+n}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$
∴直線l′的函數(shù)關系式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$；
（3）∵OA=8，OC=6，
∴△AOC的面積為：$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∵△POA的面積是△AOC的2倍，
∴△POA的面積=48，
∴$\frac{1}{2}$OA•|y_P|=48，
解得|y_P|=12，
∴P（-8，12）或（24，-12）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的圖象與幾何變換，求得A，C的坐標是解題的關鍵．