【題目】如圖1,平面內(nèi)有一點P到△ABC的三個頂點的距離分別為PAPB、PC,若有PA2+PB2PC2,則稱點P為△ABC關(guān)于點C的勾股點.

1)如圖2,在4×3的方格紙中,每個小正方形的邊長均為1,△ABC的頂點在格點上,請找出所有的格點P,使點P為△ABC關(guān)于點A的勾股點.

2)如圖3,△ABC為等腰直角三角形,P是斜邊BC延長線上一點,連接AP,以AP為直角邊作等腰直角三角形APD(點AP、D順時針排列)∠PAD90°,連接DCDB,求證:點P為△BDC關(guān)于點D的勾股點.

3)如圖4,點E是矩形ABCD外一點,且點C是△ABE關(guān)于點A的勾股點,若AD8CE5,ADDE,求AE的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)如圖2-1,圖2-2,求出PA2,PB2,PC2,得到PC2+PB2PA2,即得出點PABC關(guān)于點A的勾股點;

2)證明ABD≌△ACPSAS),得出BDCP,ABDACP135°,證明DBP90°,則結(jié)論得證;

3)由條件CABE關(guān)于點A的勾股點可得CECD5,如圖3,過點EMNAB于點M,交DC的延長線于點N,設(shè)AMDNx,則CNDNCDx5,由勾股定理可得82x252(x5)2,求出x的值,進而求出AMME的長,則答案可得出.

解:(1)如圖2-1,

PA212+3210PB212+225,PC2PB25,

PA2PC2+PB2,

PABC關(guān)于點A的勾股點;

如圖2-2

PA232+3218,PB212+4217,PC21,

PA2PC2+PB2

PABC關(guān)于點A的勾股點;

2∵△ABCAPD為等腰直角三角形,

ABAC,ADAPBACDAP90°,

∴∠BACDACDAPDAC,

BADCAP,

∴△ABD≌△ACPSAS),

BDPC,ABDACP135°

∵∠ABC45°,

∴∠DBPABDABC135°45°90°

BD2+PB2PD2,

PC2+PB2PD2

PBDC關(guān)于點D的勾股點.

3)解:矩形ABCD中,AD8

ADBC8CDAB,

ADDE

DE8,

CABE關(guān)于點A的勾股點,

AC2CB2+CE2,

AC2AB2+BC2

CECD5,

如圖3,過點EMNAB于點M,交DC的延長線于點N,

∴∠AMEMND90°

四邊形AMND是矩形,

MNAD8AMDN,

設(shè)AMDNx,則CNDNCDx5,

∵Rt△DEN中,EN2+DN2DE2Rt△CEN中,EN2+CN2CE2

DE2DN2CE2CN2,

∴82x252(x5)2

解得:x,

EN,AMDN,

MEMNEN8,

∴Rt△AME中,AE

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(2)求證:NM=NF

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A.B.C.D.

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