Question

【題目】綜合題:如圖1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，則△ABC的面積等于
（1）【回顧】
如圖1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，則△ABC的面積等于 ．

（2）【探究】
圖2是同學(xué)們熟悉的一副三角尺，一個(gè)含有30°的角，較短的直角邊長(zhǎng)為a；另一個(gè)含有45°的角，直角邊長(zhǎng)為b，小明用兩副這樣的三角尺拼成一個(gè)平行四邊形ABCD（如圖3），用了兩種不同的方法計(jì)算它的面積，從而推出sin75°= ，小麗用兩副這樣的三角尺拼成了一個(gè)矩形EFGH（如圖4），也推出sin75°= ，請(qǐng)你寫(xiě)出小明或小麗推出sin75°= 的具體說(shuō)理過(guò)程．

（3）【應(yīng)用】
在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如圖5）

①點(diǎn)E在AD上，設(shè)t=BE+CE，求t2的最小值；
②點(diǎn)F在AB上，將△BCF沿CF翻折，點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)G處，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）如圖3中，

由題意可知四邊形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC= b，

∵S四邊形ABCD=BCABsin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH

∴ b2asin75°=2× ×a× a+2× ×b2+（ a﹣b）（b﹣a），

∴2 absin75°= ab+ab，

∴sin75°= ．

如圖4中，

易知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=75°，

∴S四邊形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四邊形ABCD，

∴（a+b）（ a+b）═2× ×a× a+2× ×b2+ b2asin75°，

∴sin75°= ．

（3）①作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)H，CH交AD于J，連接BH，EH．

在Rt△DCJ中，JC=CDsin75°= （ + ），

∴CH=2CJ= （ + ），

在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+ （ + ）2=86+25 ，

∵EC=EH，

∴EB+EC=EB+EH，

在△EBH中，BE+EH≥BH，

∴BE+EC的最小值為BH，

∴t=BE+CE，t2的最小值為BH2，即為86+25 ．

②結(jié)論：點(diǎn)G不是AD的中點(diǎn)．

理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．

不妨設(shè)AG=GD=5，∵CD=5，

∴DC=DG，∵DH⊥CG，

∴GH=CH=3，

在Rt△CDH中，DH= = =4，

∵S△DGC= CGDH= DGCJ，

∴CJ= ，

∴sin∠CDJ= = ，

∵∠CDJ=75°，

∴與sin75°= 矛盾，

∴假設(shè)不成立，

∴點(diǎn)G不是AD的中點(diǎn)．

【解析】（1）由題意可知四邊形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC= b，

回顧：如圖1中，作AH⊥BC．

在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，

∴AH=ABsin30°= ，

∴S△ABC= BCAH= ×4× =3，

所以答案是3．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解銳角三角函數(shù)的定義(銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù))．