Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，DE∥BC交AC延長線于點(diǎn)E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若AB=10，AC=6，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD交BC于F，如圖，由AD平分∠BAC，得到$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥DE，即可的結(jié)論；
（2）由圓周角定理得到BC⊥AC，推出四邊形ECFD是矩形，求得DF=CE，根據(jù)垂徑定理得到BF=$\frac{1}{2}$BC，根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，OF=$\sqrt{B{O}^{2}-B{F}^{2}}$=3，于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連結(jié)OD交BC于F，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴BC⊥AC，
∴四邊形ECFD是矩形，
∴DF=CE，
∵OD⊥BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∴BF=4，
∵OB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OF=$\sqrt{B{O}^{2}-B{F}^{2}}$=3，
∴DF=2，
∴CE=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．