【題目】如圖所示,AC為⊙O的直徑且PAAC,BC是⊙O的一條弦,直線PB交直線AC于點D,.(1)求證:直線PB是⊙O的切線;

(2)求cosBCA的的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)cosBCA =

【解析】分析:(1)連接OB、OP,如圖,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可推出BDC∽△PDO,進一步分析可得BCOP,由此通過角之間的等量轉(zhuǎn)化便不難得到BOP≌△AOP,至此結(jié)合全等三角形的性質(zhì),問題(1)便可得以解決;

(2)PB=a,則BD=2a,根據(jù)切線長定理得到PA=PB=a,由此借助勾股定理以及線段間的比例關系即可用含a的代數(shù)式表示出OP以及OA的長.

詳解:(1)證明:連接OB、OP .

且∠D=D,

BDC∽△PDO ,

DBC=DPO ,

BCOP,

BCO=POA , CBO=BOP.

OB=OC ,

OCB=CBO ,

BOP=POA.

又∵ OB=OA, OP=OP ,

BOP≌△AOP ,

PBO=PAO.

又∵ PAAC ,

PBO=90° ,

直線PB是⊙O的切線.

(2)由(1)知∠BCO=POA ,

PB,則.

又∵ ,

.

又∵ BCOP ,

,

,

,

,

cosBCA=cosPOA= .

練習冊系列答案
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【題目】如圖,某人為了測量小山頂上的塔ED的高,他在山下的點A處測得塔尖點D的仰角為45°,再沿AC方向前進60m到達山腳點B,測得塔尖點D的仰角為60°,塔底點E的仰角為30°,求塔ED的高度.(結(jié)果保留根號)

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2)結(jié)合圖象回答:

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1 2

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