Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D、E在直線BC上運動．設BD=x，CE=y．∠BAC=60°，∠DAE=120°．
（1）求證：BC²=BD•CE．
（2）求y關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）求出△ABC是等邊三角形，求出∠ABD=∠ACE=120°，求出∠D=∠CAE，推出△DBA∽△ACE，得出比例式，即可得出答案；
（2）根據(jù)BC²=BD×CE代入求出即可．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，∠CAE=60°
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AB=AC=1，
∴∠ABD=∠ACE=180°-60°=120°，
∴∠D+∠DAB=180°-120°=60°，
∵∠BAC=60°，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∴∠D=∠CAE，
∴△DBA∽△ACE，
∴

BD

AC

=

AB

CE

，
∵AB=BC=AC，
∴BC²=BD×CE；

（2）解：∵BC²=BD×CE，BC=1，BD=x，CE=y，
∴xy=1，
∴y=

1

x

，
即y關于x的函數(shù)關系式是y=

1

x

．

點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，反比例函數(shù)等知識點的應用，解此題的關鍵是求出△DBA∽△ACE．