【題目】如圖,拋物線的圖象過點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAC的周長最小,若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的周長;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M(不與C點(diǎn)重合),使得?若存在,請求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在,點(diǎn),周長為:;(3)存在,點(diǎn)M坐標(biāo)為
【解析】
(1)由于條件給出拋物線與x軸的交點(diǎn),故可設(shè)交點(diǎn)式,把點(diǎn)C代入即求得a的值,減小計(jì)算量.
(2)由于點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸:直線對稱,故有,則,所以當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí),最。命c(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求AC、CB的長,求直線BC解析式,把代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo).
(3)由可得,當(dāng)兩三角形以PA為底時(shí),高相等,即點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等.又因?yàn)?/span>M在x軸上方,故有.由點(diǎn)A、P坐標(biāo)求直線AP解析式,即得到直線CM解析式.把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)M坐標(biāo).
解:(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)
∴可設(shè)交點(diǎn)式
把點(diǎn)代入得:
∴拋物線解析式為
(2)在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P,使得的周長最。
如圖1,連接PB、BC
∵點(diǎn)P在拋物線對稱軸直線上,點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱
∵當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí),最小
最小
設(shè)直線BC解析式為
把點(diǎn)B代入得:,解得:
∴直線BC:
∴點(diǎn)使的周長最小,最小值為.
(3)存在滿足條件的點(diǎn)M,使得.
∵S△PAM=S△PAC
∴當(dāng)以PA為底時(shí),兩三角形等高
∴點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等
∵M在x軸上方
,設(shè)直線AP解析式為
解得:
∴直線
∴直線CM解析式為:
解得:(即點(diǎn)C),
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為
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(2)若拋物線y=mx2+(1﹣5m)x﹣5(m≠0)與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),且|x1﹣x2|=6,求m的值.
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時(shí)間x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售價(jià)(元/件) | x+40 | 90 |
每天銷量(件) | 200﹣2x | 200﹣2x |
已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元,設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元
(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時(shí),當(dāng)天銷售利潤最大,最大利潤是多少?
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天銷售利潤不低于4800元?請直接寫出結(jié)果.
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(1)求k和n的值;
(2)若點(diǎn)C(x,y)也在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,求當(dāng)2≤x≤6時(shí),函數(shù)值y的取值范圍.
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(2)若D是優(yōu)弧BC上中點(diǎn)時(shí),求證:.
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