【題目】如圖,折疊邊長為a的正方形ABCD,使點C落在邊AB上的點M處(不與點A,B重合),點D落在點 N處,折痕EF分別與邊BC、AD交于點E、F,MN與邊AD交于點G.
證明:(1)△AGM∽△BME;
(2)若M為AB中點,則;
(3)△AGM的周長為2a.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
試題(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠A=∠B,∠AGM=∠BME,再利用相似三角形的判定證明即可;
(2)設BE=x,利用勾股定理得出x的值,再利用相似三角形的性質(zhì)證明即可;
(3)設BM=x,AM=a-x,利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)證明即可.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠AMG+∠AGM=90°.
∵EF為折痕,∴∠GME=∠C=90°,
∴∠AMG+∠BME=90°,
∴∠AGM=∠BME.
在△AGM與△BME中,
∵∠A=∠B,∠AGM=∠BME,
∴△AGM∽△BME.
(2)∵M為AB中點,∴BM=AM=.
設BE=x,則ME=CE=a-x.
在Rt△BME中,∠B=90°,
∴BM2+BE2=ME2,即()2+x2=(a-x)2,
∴x=a,∴BE=a,ME=a.
由(1)知,△AGM∽△BME,
∴===.
∴AG=BM=a,GM=ME=a,
∴.
(3)設BM=x,則AM=a-x,ME=CE=a-BE.
在Rt△BME中,∠B=90°,
∴BM2+BE2=ME2,即x2+BE2=(a-BE)2,
解得:BE=-.
由(1)知,△AGM∽△BME,
∴==.
∵C△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x,
∴C△AGM=C△BME·=(a+x)·=2a.
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【題目】如圖,點B. F. C.E在一條直線上(點F,C之間不能直接測量),點A,D在直線l的異側(cè),測得AB=DE,AB∥DE,AC∥DF.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=13m,BF=4m,求FC的長度.
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【題目】如圖 AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE與CD相交于點O.
(1)求證AD=AE;
(2)連接OA,BC,試判斷直線OA,BC的關(guān)系并說明理由.
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【題目】已知一次函數(shù)y=x+4的圖象與二次函數(shù)y=ax(x﹣2)的圖象相交于A(﹣1,b)和B,點P是線段AB上的動點(不與A、B重合),過點P作PC⊥x軸,與二次函數(shù)y=ax(x﹣2)的圖象交于點C.
(1)求a、b的值
(2)求線段PC長的最大值;
(3)若△PAC為直角三角形,請直接寫出點P的坐標.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于A(m,3),B(-3,n)兩點.
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)觀察函數(shù)圖象,直接寫出關(guān)于x的不等式>kx+b的解集.
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【題目】為了美化生活環(huán)境,小蘭的爸爸要在院墻外的一塊空地上修建一個矩形花圃.如圖所示,矩形花圃的一邊利用長10米的院墻,另外三條邊用籬笆圍成,籬笆的總長為32米.設AB的長為x米,矩形花圃的面積為y平方米.
(1)用含有x的代數(shù)式表示BC的長,BC= ;
(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍;
(3)當x為何值時,y有最大值?最大值為多少?
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【題目】通過整式乘法的學習,我們進一步了解了利用圖形面積來說明法則、公式等的正確性的方法,例如利用圖甲可以對平方差公式給予解釋.圖乙中的是一個直角三角形,,人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊滿足的關(guān)系.圖丙是2002年國際數(shù)學家大會的會徽,選定的是我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖,弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊長為,較長直角邊長為,求出的值.
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