Question

在平面直角坐標系中，梯形ABOC的頂點A（6，8）、C（10，0），AB∥OC，點P從C點出發(fā)，向點O運動（到達O點即停止運動），以PC為半徑的⊙P與線段AC的另一個交點為D，與x軸的交點為F，過D作DE⊥OA于E．

（1）求證：DE是⊙P的切線；
（2）當⊙P與OA相切時（如圖②），求⊙P的半徑；
（3）若以O為圓心，r為半徑畫⊙O，⊙O與⊙P相切．在運動過程中，當線段OA上有且只有一個點Q，使∠CQF=90°時，求此時r的大小或取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用勾股定理得出AO的長，進而利用等腰三角形的性質以及平行線的判定定理得出∠OED=∠PDE=90°，即可得出答案；
（2）設⊙P與直線AO相切于點N，連接NP，利用相似三角形的判定與性質得出△AOB∽△OPN，則

OB

PN

=

AO

OP

，進而得出⊙P的半徑；
（3）利用∠CQF=90°時．⊙P半徑R=

40

9

或5＜R＜10，再利用當外切時，r+R=10-R，當內切時，R-r=10-R，5≤R＜10，求出即可．

解答：（1）證明：如圖①，連接PD，
∵A（6，8）、C（10，0），
∴AB=6，BO=8，CO=10，
∴AO=CO=10，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD，
∴∠OAC=∠PDC，
∴AO∥PD，
∴∠OED=∠PDE=90°，
∴DE是⊙P的切線；    

 （2）解：如圖②，

設⊙P與直線AO相切于點N，連接NP，
由題意可得出：PN⊥AO，
∵∠BOA+∠AOC=90°，∠AOP+∠OPN=90°，
∴∠BOA=∠OPN，
又∵∠ABO=∠ONP=90°，
∴△AOB∽△OPN，
∴

OB

PN

=

AO

OP

，
設NP=x，則OP=10-x，
故

8

x

=

10

10-x

，
解得：x=

40

9

，
即⊙P的半徑為：

40

9

；

（3）解：∵線段OA上有且只有一個點Q，使∠CQF=90°時，
∴⊙P與線段OA只有一個共公點，
∴⊙P半徑R=

40

9

或5＜R＜10，
當外切時，r+R=10-R，
解得：r=

10

9

當內切時，R-r=10-R，5≤R＜10，
故0≤r＜10
綜上：此時r的大小或取值范圍是：0≤r＜10．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和切線的判定等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．