Question

在平面直角坐標(biāo)系中，梯形ABOC的頂點(diǎn)A（6，8）、C（10，0），AB∥OC，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)（到達(dá)O點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)），以PC為半徑的⊙P與線段AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為F，過D作DE⊥OA于E．

（1）求證：DE是⊙P的切線；
（2）當(dāng)⊙P與OA相切時(shí)（如圖②），求⊙P的半徑；
（3）若以O(shè)為圓心，r為半徑畫⊙O，⊙O與⊙P相切．在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段OA上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使∠CQF=90°時(shí)，求此時(shí)r的大小或取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用勾股定理得出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定定理得出∠OED=∠PDE=90°，即可得出答案；
（2）設(shè)⊙P與直線AO相切于點(diǎn)N，連接NP，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△AOB∽△OPN，則

OB

PN

=

AO

OP

，進(jìn)而得出⊙P的半徑；
（3）利用∠CQF=90°時(shí)．⊙P半徑R=

40

9

或5＜R＜10，再利用當(dāng)外切時(shí)，r+R=10-R，當(dāng)內(nèi)切時(shí)，R-r=10-R，5≤R＜10，求出即可．

解答：（1）證明：如圖①，連接PD，
∵A（6，8）、C（10，0），
∴AB=6，BO=8，CO=10，
∴AO=CO=10，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD，
∴∠OAC=∠PDC，
∴AO∥PD，
∴∠OED=∠PDE=90°，
∴DE是⊙P的切線；    

 （2）解：如圖②，

設(shè)⊙P與直線AO相切于點(diǎn)N，連接NP，
由題意可得出：PN⊥AO，
∵∠BOA+∠AOC=90°，∠AOP+∠OPN=90°，
∴∠BOA=∠OPN，
又∵∠ABO=∠ONP=90°，
∴△AOB∽△OPN，
∴

OB

PN

=

AO

OP

，
設(shè)NP=x，則OP=10-x，
故

8

x

=

10

10-x

，
解得：x=

40

9

，
即⊙P的半徑為：

40

9

；

（3）解：∵線段OA上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使∠CQF=90°時(shí)，
∴⊙P與線段OA只有一個(gè)共公點(diǎn)，
∴⊙P半徑R=

40

9

或5＜R＜10，
當(dāng)外切時(shí)，r+R=10-R，
解得：r=

10

9

當(dāng)內(nèi)切時(shí)，R-r=10-R，5≤R＜10，
故0≤r＜10
綜上：此時(shí)r的大小或取值范圍是：0≤r＜10．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和切線的判定等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．