Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意Rt△DBC，∠BDC=90°．
（1）若CD=2BD，M是CD中點(diǎn)（如圖1），求證：△ADB≌△AMC；
下面是小明的證明過程，請你將它補(bǔ)充完整：
證明：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠①

 

．
∵M(jìn)是DC的中點(diǎn)，
∴CM=

1

2

CD=②

 

．
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC．
（2）若CD＜BD（如圖2），在BD上是否存在一點(diǎn)N，使得△ADN是以DN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請?jiān)趫D2中確定點(diǎn)N的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)CD≠BD時(shí)，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論；
（2）存在．在BD上截取BN=CD，由條件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出∠NAD=90°而得出結(jié)論；
（3）當(dāng)BD＞CD時(shí)，如圖3，在BD上截取BN=CD，由條件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出△AND是等腰直角三角形，就可以得出ND=

2

AD，就可以得出BD-CD=

2

AD．當(dāng)BD＜CD事實(shí)，如圖4，在CD上取一點(diǎn)N，使CN=BD，由條件可以得出，△ACN≌△ABD，就有AN=AD，∠DAB=∠NAC，得出△AND是等腰直角三角形，就可以得出ND=

2

AD，就可以得出CD-BD=

2

AD．

解答：解：（1）由題意，得
①根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得出∴∠DBO=∠MCA（或∠ACO）；
②由等式的性質(zhì)就可以得出CM=BD； 
故答案為：∠MCA，BD；
（2）存在
理由：如圖3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，

AC=AB ∠ACD=∠ABN CD=BN

，
∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形；
（3）①當(dāng)CD＜BD時(shí)，

2

AD=BD-CD．
理由：如圖3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，

AC=AB ∠ACD=∠ABN CD=BN

，
∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形；
∴ND=

2

AD．
∵ND=BD-BN，
∴ND=BD-CD，
∴

2

AD=BD-CD
②當(dāng)CD＞BD時(shí)，

2

AD=CD-BD；                     
理由：如圖4，在CD上取一點(diǎn)N，使CN=BD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠DOB=∠COA，
∴∠ABD=∠ACD．
在△ACN和△ABD中，

AC=AB ∠ACN=∠ABD CN=BD

，
∴△ACN≌△ABD（SAS），
∴AN=AD，∠DAB=∠NAC．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAB+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD為等腰直角三角形，
∴DN=

2

AD．
∵DN=CD-CN，
∴DN=CD-BD，
∴

2

AD=CD-BD．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．