Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D是AC邊上一點，連接BD，過點A作AE⊥BD于E．

（1）如圖1，連接CE并延長CE交AB于點F，若∠CBD＝15°，AB＝4，求CE的長；

（2）如圖2，當點D在線段AC的延長線上時，將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AF，連接EF，交BC于G，連接CF，求證：BG＝CG．

Answer 1

【答案】（1）2-2（2）證明見解析

【解析】

先證明∠BAE＝∠ABE＝45°，結合AC＝BC可證CF垂直平分AB，從而可求出AF＝BF＝EF=2，由勾股定理求出CF的長，即可求出CE的長；

（2）過點C作CM∥BD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△AEF為等邊三角形，然后通過證明△ABE≌△ACF和△BGE≌△GMC可證明結論成立.

（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC＝4，∠BAC＝60°且∠DBC＝15°，

∴∠ABE＝45°且AE⊥BD，

∴∠BAE＝∠ABE＝45°，

∴AE＝BE，且AC＝BC

∴CF垂直平分AB，即AF＝BF＝2，CF⊥AB.

∵∠ABE＝45°，

∴∠FEB＝∠ABE＝45°，

∴BF＝EF＝2，

∵Rt△BCF中，

CF＝＝2，

∴CE＝2﹣2；

（2）如圖2：過點C作CM∥BD，

∵將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AF

∴AE＝AF，∠EAF＝60°，

∴△AEF為等邊三角形，

∴∠AFE＝∠AEF＝60°，

∴∠FAC+∠EAC＝60°，且∠BAE+∠EAC＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，且AB＝AC，AE＝AF，

∴△ABE≌△ACF，

∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC＝90°，

∴∠BEF＝150°，∠MFC＝30°.

∵MC∥BD，

∴∠BEF＝∠GMC＝150°，

∴∠CMF＝30°＝∠CFM，

∴CM＝CF且CF＝BE，

∴BE＝CM且∠BGE＝∠CGM，∠BEG＝∠CMG，

∴△BGE≌△GMC，

∴BG＝GC.