Question

如圖，△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，cos∠CPM=

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，點(diǎn)Q是射線PM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則CQ長(zhǎng)度的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：在△PCQ中，由cos∠CPM=

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，可知當(dāng)CP確定時(shí)則當(dāng)CQ⊥PM時(shí)，CQ最小，而CP最小時(shí)則CQ也最小，故當(dāng)CP⊥AN時(shí)，CP最小，由直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義可求得CP的最小值為5，可求得CQ最小值為3．

解答：解：由題意可知當(dāng)CP最小時(shí)，可知在△CPQ中當(dāng)CQ⊥PM時(shí)，CQ有最小值，
當(dāng)CP⊥AN，CQ⊥PM時(shí)，如圖，
在Rt△APC中，AC=10，∠BAC=30°，∴PC=5，
在Rt△CPQ中，cos∠CPM=

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，∴PQ=4，
則可求得CQ=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，找到當(dāng)CQ取得最小值時(shí)的點(diǎn)P和點(diǎn)Q的位置是解題的關(guān)鍵．