Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，OA=10cm，OC=8cm，將矩形沿直線CD折疊，使點(diǎn)B落在x軸上點(diǎn)E處．
（1）求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將△AED沿x軸向左平移，速度為1cm/秒，設(shè)平移的時(shí)間為t（秒），且0＜t＜

25

4

，△AED與△CED重疊部分的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，求出S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）利用勾股定理，則E的坐標(biāo)即可得到；
（2）分當(dāng)0＜t＜4和當(dāng)4＜t＜

25

4

兩種情況進(jìn)行討論．利用三角函數(shù)即可求得陰影部分面積．

解答：解（1）∵矩形ABCD，∴∠O=∠B=90°
由折疊得：BC=CE=10，0C=8
∴由勾股定理可得OE=6
∴E（6，0）

（2）設(shè)ED=BD=xcm，AD=（8-x）cm
由（1）得AE=10-6=4
∴由勾股定理得：4²+（8-x）²=x²
∴x=5∴ED=5，AD=3，AE=4
∴S△ADE=

1

2

×3×4=6
∴當(dāng)0＜t＜4時(shí)，如圖①，可證△A₁QE∽△ADE，△EPE₁∽△DAE；
當(dāng)4＜t＜

25

4

時(shí)，如圖②，可證△D₂MN∽△EA₂N∽△DAE；
①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，AA₁=EE₁=tcm，A₁E=（4-t）cm 
∴S△A1EQ=S△AED•(

4-t

4

)2=6•

(4-t)2

16

=

3(4-t)2

8

S△EPE1=S△AED•(

t

5

)2=

6t2

25

∴S=6-

3

8

(4-t)2-

6

25

t2=-

123

200

t2+3t=-

123

200

(t-

100

41

)2+

150

41

②當(dāng)4≤t＜

25

4

時(shí)，

A2N

AE

=

A2E

AD

∴A2N=

4(t-4)

3

∴D2N=3-

4

3

(t-4)=-

4

3

t+

25

3

∴S=6•(

- 3 4 t+ 25 3

5

)2=

2

75

(4t-25)2
③當(dāng)0＜t＜4時(shí)，t=

100

41

時(shí)，Smax=

150

41

；
當(dāng)4≤t＜

25

4

時(shí)，t=4時(shí)，Smax=

54

25

；
∵

150

41

＞

54

25

∴t=

100

41

時(shí)，Smax=

150

41

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是分情況討論求陰影部分面積．