Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，E為AB邊上一點，ED⊥AD于D，EC⊥CB于C，且∠AED=∠BEC，AB=2$\sqrt{13}$，AD=3，BD=$\sqrt{37}$，M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，則△DEM與△CEN的周長之和為2$\sqrt{13}$+6．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形相似，從而得到∠A=∠ABC，進而補全等腰三角形，△DEM與△CEN的周長之和就可轉(zhuǎn)化為AB+BH，而BH是△ADB的邊AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解決問題．

解答 解：延長AD、BC交于點F，作BH⊥AF，垂足為H，如圖，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A=∠CBE，
∴FA=FB．
連接EF，∵S_△ABF=S_△AEF+S_△BEF，
即$\frac{1}{2}$AF•BH=$\frac{1}{2}$AF•DE+$\frac{1}{2}$BF•CE，
∴ED+EC=BH，
設(shè)DH=x，則AH=AD+DH=（3+x）．
∵BH⊥AF，
∴∠BHA=90°．
∴BH²=BD²-DH²=AB²-AH²．
∵AB=2$\sqrt{13}$，AD=3，BD=$\sqrt{37}$，
∴（$\sqrt{37}$）²-x²=（2$\sqrt{13}$）²-（3+x）²，
解得：x=1．
∴BH²=BD²-DH²=37-1=36，
∴BH=6，
∴ED+EC=BH=6，
∵∠ADE=∠BCE=90°，
且M、N分別為AE、BE的中點，
∴DM=AM=EM=$\frac{1}{2}$AE，CN=BN=EN=$\frac{1}{2}$BE．
∴△DEM與△CEN的周長之和
=DE+DM+EM+CN+EN+EC
=DE+AE+BE+EC=DE+AB+EC
=DE+EC+AB=2$\sqrt{13}$+6．
即△DEM與△CEN的周長之和為2$\sqrt{13}$+6．
故答案為：2$\sqrt{13}$+6．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積的計算，平行線的性質(zhì)與判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，考查了用面積法證明幾何問題，考查了運用已有的經(jīng)驗解決問題的能力，體現(xiàn)了自主探究與合作交流的新理念，是充分體現(xiàn)新課程理念難得的好題．