Question

6．如圖，以A為頂點(diǎn)的拋物線l₂是由拋物線l₁：y=x²沿x軸向右平移2個(gè)單位后得到的，兩拋物線相交于點(diǎn)M，拋物線l₂與y軸交于點(diǎn)D，以O(shè)D為邊向右作正方形ODCB，P為拋物線l₁上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m（0≤m≤2），且點(diǎn)P不與點(diǎn)M重合，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交拋物線l₂于點(diǎn)Q，將PQ繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PE，連結(jié)EQ．
（1）求點(diǎn)M坐標(biāo)．
（2）求△PEQ與正方形ODCB的重疊部分圖形面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線l₁或l₂上時(shí)，求m的值．
（4）直接寫出△PEQ的一邊被拋物線l₁或l₂平分時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平移規(guī)律求出拋物線l₂的解析式，再利用方程組求兩函數(shù)的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）利用拋物線的解析式表示出對應(yīng)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再確定分界線的位置：當(dāng)點(diǎn)E在OD上和BC上時(shí)m的值，分三種情況計(jì)算重疊部分的面積：①點(diǎn)E在OD左側(cè)時(shí)，重疊部分是梯形，S就是梯形面積，②△PEQ完全在正方形內(nèi)，重疊部分就是△PEQ的面積，③點(diǎn)E在BC的右側(cè)時(shí)，重疊部分是梯形，S就是梯形面積；還要注意PQ分兩種情況計(jì)算：①在點(diǎn)M左側(cè)時(shí)，PQ=（m²-4m+4）-m²=-4m+4，②在點(diǎn)M右側(cè)時(shí)，PQ=m²-（m²-4m+4）=4m-4；
（3）當(dāng)E在l₁上時(shí)，如圖⑤，利用PE=PQ列式計(jì)算；當(dāng)E在l₂上時(shí)，如圖⑥，表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)（m+4m+4，m²），點(diǎn)E在拋物線l₂上，代入解析式，計(jì)算出m的值，并根據(jù)題意進(jìn)行取舍．
（4）畫出圖形依次求出：圖⑦，PE被l₁平分；則PE=4m，根據(jù)PE=PQ得，4m=-4m+4，m=$\frac{1}{2}$；
圖⑧，EQ被l₁平分，找出EQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線l₁的解析式；
圖⑨，EQ被l₂平分，找出EQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線l₂的解析式；
圖⑩，PE被l₂平分，找出PE的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線l₂的解析式；

解答 解：（1）∵拋物線l₁：y=x²沿x軸向右平移2個(gè)單位后得到拋物線l₂，
∴l(xiāng)₂：y=（x-2）²，即y=x²-4x+4，
由x²=（x-2）²，解得x=1，
∴y=x²=1，
∴M（1，1）；
（2）∵對于y=x²-4x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
∴D（0，4），則OD=4，
∵P（m，m²），PQ∥y軸，
∴Q（m，m²-4m+4），
當(dāng)0≤m＜1時(shí)，PQ=（m²-4m+4）-m²=-4m+4，
當(dāng)1＜m≤2時(shí)，PQ=m²-（m²-4m+4）=4m-4，
當(dāng)E在OD上時(shí)，PE=PQ，則m=-4m+4，m=$\frac{4}{5}$，
∴當(dāng)0≤m≤$\frac{4}{5}$時(shí)，如圖①，
S=$\frac{1}{2}$[（-4m+4）-m+（-4m+4）]•m
=-$\frac{9}{2}$m²+4m；
當(dāng)$\frac{4}{5}$＜m＜1時(shí)，如圖②，
S=$\frac{1}{2}$（-4m+4）²=8（m-1）²；
當(dāng)E在BC上時(shí)，PE=PQ，則4-m=4m-4，m=$\frac{8}{5}$，
當(dāng)1＜m≤$\frac{8}{5}$時(shí)，如圖③，S=$\frac{1}{2}$（4m-4）²=8（m-1）²，
當(dāng)$\frac{8}{5}$＜m≤2時(shí)，如圖④，S=$\frac{1}{2}$[（m+4m-4-4）+（4m-4）]•（4-m）=-$\frac{9}{2}$m²+24m-24；
（3）當(dāng)E在l₁上時(shí)，如圖⑤，2m=-4m+4，
當(dāng)E在l₂上時(shí)，如圖⑥，（m+4m-4-2）²=m²，
∴m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=1（舍），
綜上，當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線l₁或l₂上時(shí)，m的值為$\frac{3}{2}$或$\frac{2}{3}$；


（4）m的值為$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{4}$或$\frac{7}{4}$或2；
如圖：⑦～⑩

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．本題的解題思路為：①兩函數(shù)的交點(diǎn)就是兩函數(shù)解析式所組成的方程組的解；②求重疊部分圖形面積S的關(guān)鍵是能正確畫出各種情況的圖形，會用解析式表示圖形上某點(diǎn)的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)與線段區(qū)別；③利用二次函數(shù)求某一字母的值時(shí)，將函數(shù)知識與方程、正方形、等腰直角三角形有機(jī)地結(jié)合在一起，恰當(dāng)?shù)卣页龅攘筷P(guān)系列方程．