Question

已知，如圖，BC是圓O的直徑，A是弦BD延長線上一點，AC⊥BC于點C，切線DE交AC于點E．
（1）求證：AE=EC．
（2）若AD=DB，OC=5，求切線AC的長．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：（1）連接CD，則DE=EC，∠EDC=∠ECD，且∠A+∠ECD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，可證得EA=ED，所以可得AE=EC；
（2）當BD=AD時，可知AC=BC=2OC=10．

解答：（1）證明：如圖，連接CD，
∵AC⊥BC，
∴AC為⊙O的切線，
∵DE為⊙的切線，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵BC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ECD=90°，∠EDA+∠EDC=90°，
∴∠A=∠EDA，
∴DE=AE，
∴AE=EC；
（2）解：∵AD=BD，且CD⊥AB，
∴CD為AB的垂直平分線，
∴AC=BC=2OC=10．

點評：本題主要考查圓的切線的判定和性質及切線長定理、線段垂直平分線的判定和性質，掌握切線長定理及切線的判定和性質是解題的關鍵，在該題中得到ED=EA是解題的關鍵．