Question

已知，如圖，BC是圓O的直徑，A是弦BD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AC⊥BC于點(diǎn)C，切線(xiàn)DE交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：AE=EC．
（2）若AD=DB，OC=5，求切線(xiàn)AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接CD，則DE=EC，∠EDC=∠ECD，且∠A+∠ECD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，可證得EA=ED，所以可得AE=EC；
（2）當(dāng)BD=AD時(shí)，可知AC=BC=2OC=10．

解答：（1）證明：如圖，連接CD，
∵AC⊥BC，
∴AC為⊙O的切線(xiàn)，
∵DE為⊙的切線(xiàn)，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵BC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ECD=90°，∠EDA+∠EDC=90°，
∴∠A=∠EDA，
∴DE=AE，
∴AE=EC；
（2）解：∵AD=BD，且CD⊥AB，
∴CD為AB的垂直平分線(xiàn)，
∴AC=BC=2OC=10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線(xiàn)的判定和性質(zhì)及切線(xiàn)長(zhǎng)定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，掌握切線(xiàn)長(zhǎng)定理及切線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，在該題中得到ED=EA是解題的關(guān)鍵．