Question

已知△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=15°，CD=

1

2

AB，試判斷△ABC的形狀并說明理由．

Answer 1

考點：含30度角的直角三角形

專題：

分析：首先畫出圖形，根據三角形內角和定理求出∠A=75°．設CD=a，AD=b，則AB=2CD=2a．在△ACD中，根據正切函數的定義得出tan75°=

CD

AD

=

a

b

=2+

3

，則a=（2+

3

）b，再由勾股定理求出AC²=AD²+CD²=b²+a²=（8+4

3

）b²，BC²=BD²+CD²=（2a-b）²+a²=（28+16

3

）b²，得到AB=BC，從而判定△ABC是等腰三角形．

解答：解：△ABC是等腰三角形，理由是：
如圖，∵CD⊥AB于D，∠ACD=15°，
∴∠CDA=∠CDB=90°，∠A=75°．
∵設CD=a，AD=b，則AB=2CD=2a．
在△ACD中，∵tan75°=

CD

AD

=

a

b

=2+

3

，
∴a=（2+

3

）b，
由勾股定理得，AC²=AD²+CD²=b²+a²=b²+[（2+

3

）b]²=（8+4

3

）b²，
在△BCD中，由勾股定理得，BC²=BD²+CD²=（2a-b）²+a²=5a²-4ab+b²=5×[（2+

3

）b]²-4×（2+

3

）b•b+b²=（28+16

3

）b²，
又∵AB²=4a²=4×（2+

3

）b]²=（28+16

3

）b²，
∴AB²=BC²，AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形．

點評：本題考查了勾股定理，正切函數的定義，三角形內角和定理，難度適中．本題利用了tan75°=2+

3

．