Question

【題目】如圖，已知拋物線 y x2 bx c 的圖象與 x 軸交于 A1, 0 、 B 4, 0 兩點， 與 y 軸交于點C ，拋物線的對稱軸與 x 軸交于點 D ，點 M 從O 點出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度向 B 點運動（運動到 B 點停止），過點 M 作 x 軸的垂線，交拋物線于點 P ，交 BC 與點Q .

（1）求拋物線的解析式；

（2）設當點 M 運動了t （秒）時，四邊形OBPC 的面積為 S ，求 S 與t 的函數關系式，并指出自變量t 的取值范圍；

（3）在線段 BC 上是否存在點Q ，使得DBQ 成為等腰三角形？若存在，求出點Q 的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y x2 3x 4.（2）S＝2x2＋8x＋8（0≤x≤4）

（3）存在，Q的坐標為（，）, 或（4,）, 或（,）.

【解析】

（1）把A1, 0 、 B 4, 0 兩點代入解析式即可求解；

（2）設點P的坐標為P（x，y），由S四邊形OBPC＝S△OPC＋S△OPB可列出S與x的函數關系式，由于B（4，0），所以0≤x≤4；

（3）有三種可能：①BQ＝DQ，②BQ＝BD＝，③DQ＝BD＝，分別討論即可求得．

解：（1）把A1, 0 、 B 4, 0 兩點代入解析式得

，解得

∴拋物線的解析式為y x2 3x 4.

∴C點坐標為（0,4）

設BC的解析式為y=kx+b，利用B 4, 0，C（0,4）得到BC的解析式為y=-x+4.

（2）如圖，連接OP，設點P的坐標為P（x，y）

S四邊形OBPC＝S△OPC＋S△OPB＝×4×x＋×4×y

＝2x＋2y

＝2x＋2（x2＋3x＋4）

＝2x2＋8x＋8．

∵點M運動到B點上停止，

∴0≤x≤4

∴S＝2x2＋8x＋8（0≤x≤4）

（3）存在．

∵y＝x2＋3x＋4＝（x）2＋

∴頂點的坐標為（，），

∵OB＝OC＝4，

∴BC＝，∠ABC＝45°，

故①若BQ＝DQ

∵BQ＝DQ，BD＝4=

∴BM＝QM＝，

∴OM＝4=

所以Q的坐標為Q（，）

②若BQ＝BD＝

∵∠QBM=∠CBO，∠BMQ=∠BOC=90°

∴△BQM∽△BCO，

∴，

∴

∴QM＝BM＝

∴OM＝4

所以Q的坐標為Q（4,）．

③若DQ＝BD＝

∵∠ABC＝45°，

∴DQ⊥BD，

∴△DBQ是等腰直角三角形，

∴DQ＝BD＝

所以Q的坐標為Q（,），

綜上所述，Q的坐標為Q（，）, 或（4,）, 或（,）.