Question

20．如圖，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲(chóng)爬行的路線是AA₁→A₁D₁→…，白甲殼蟲(chóng)爬行的路線是AB→BB₁→…，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n+2與第n條棱所在的直線必須是既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)），那么當(dāng)黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)各爬行完第2013條棱分別停止在所到的正方體頂點(diǎn)處時(shí)，它們之間的距離是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意找到規(guī)律：黑、白甲殼蟲(chóng)每爬行6條邊后又重復(fù)原來(lái)的路徑，可得當(dāng)黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)各爬行完第2009條棱分別停止時(shí)，黑甲殼蟲(chóng)停在點(diǎn)C，白甲殼蟲(chóng)停在點(diǎn)D₁，則求BA₁的長(zhǎng)即可．

解答 解：∵黑甲殼蟲(chóng)爬行的路徑為：AA₁→A₁D₁→D₁C₁→C₁C→CB→BA→AA₁→A₁D₁→…，
白甲殼蟲(chóng)爬行的路徑為：AB→BB₁→B₁C₁→C₁D₁→D₁A₁→A₁A→AB→BB₁→…，
∴黑、白甲殼蟲(chóng)每爬行6條邊后又重復(fù)原來(lái)的路徑，
∵2013=335×6+3，
∴當(dāng)黑、白兩個(gè)甲殼蟲(chóng)各爬行完第2013條棱分別停止時(shí)，黑甲殼蟲(chóng)停在點(diǎn)C，白甲殼蟲(chóng)停在點(diǎn)D₁，
∴CD₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了立體圖形的有關(guān)知識(shí)．注意找到規(guī)律：黑、白甲殼蟲(chóng)每爬行6條邊后又重復(fù)原來(lái)的路徑 是解此題的關(guān)鍵．