Question

【題目】如圖，已知拋物線L：y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)．與y軸交于C點(diǎn)．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．

（1）求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在拋物線L的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ACM周長最��？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）連接AC、BC，在拋物線L上是否存在一點(diǎn)N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（1，﹣2）符合題意；（3）符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，﹣3）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可；

（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，要使MA+MC的值最小，則點(diǎn)M就是BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，把拋物線對(duì)稱軸r=1代入即可求解；

（3）設(shè)N（x，x2﹣2x﹣3），根據(jù)三角形的面積公式解答即可.

（1）由A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA，得

OB＝OC＝3，

即B（3，0），C（0，﹣3），

把A，B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)M為BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，MA+MC的值最�。�

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+t（k≠0），

則，

解得：．

∴直線AC的解析式為y＝x﹣3．

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2．

∴拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（1，﹣2）符合題意；

（3）設(shè)N（x，x2﹣2x﹣3），

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB＝4，OC＝3．

∴S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6．

∵S△ABC＝2S△OCN，

∴2×OC|x|＝6，即|x|＝2，

解得x＝2或x＝﹣2．

當(dāng)x＝2時(shí)，x2﹣2x﹣3＝﹣3．此時(shí)N（2，﹣3）．

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2﹣2x﹣3＝5．此時(shí)N（﹣2，5）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，﹣3）或（﹣2，5）．