Question

15．如圖，拋物線y=-x²+5x+c經過點A（1，0），與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點B的坐標是（0，-4）；該拋物線的開口方向向下；頂點坐標是（2.5，2.5）；對稱軸直線是x=2.5．
（3）P為坐標軸上的一點，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，求出符合條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求得函數解析式即可；
（2）利用函數解析式求得與y軸交點B的坐標，該拋物線的開口方向，頂點坐標，以及對稱軸直線即可；
（3）分兩種情況：A為等腰三角形的頂點，B為等腰三角形的頂點，結合性質求得答案即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+5x+c經過點A（1，0）．
∴-1+5+c=0，
C=-4；
∴拋物線解析式為y=-x²+5x-4；
（2）點B的坐標是（0，-4）；
該拋物線的開口方向向下；
頂點坐標是（2.5，2.25）；
對稱軸直線是x=2.5．
（3）在拋物線y=-x²+5x-4中，當y=0時，
得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0）又∵B（0，-4），OA⊥OB，
∴$AB=\sqrt{17}$，
∴①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，
分別交坐標軸于P₁、P₂、P₃三點（如圖）．

∴P₁（$\sqrt{17}+1$，O）；
P₂（0，4）
P₃（$1-\sqrt{17}$，0）
②以點B為圓心，AB長為半徑畫圓，
分別交坐標軸于P₄、P₅、P₆三點（如圖）．
∴P₄（-1，O）；
P₅（0，$-4-\sqrt{17}$）
P₆（0，$\sqrt{17}-4$）
總之存在符合條件的點P，共有六點：P₁（$\sqrt{17}+1$，O）； P₂（0，4）；P₃（$1-\sqrt{17}$，0）；P₄（-1，O）；P₅（0，$-4-\sqrt{17}$）； P₆（0，$\sqrt{17}-4$）．

點評 此題考查二次函數的綜合運用，掌握二次函數的性質，待定系數法求函數解析式以及等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．