Question

10．如圖1，直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x+1與l₂：y=-2x+6相交于點C，直線l₁分別與x軸、y軸相交于點A、D，直線l₂分別與x軸、y軸交于點B、E．

（1）填空：①線段AB=5；②點C的坐標為（2，2）；
（2）求證：△ABC是直角三角形；
（3）直線l₁向上平移幾個單位后，以點A、B、E、D為頂點的圖形是軸對稱圖形？（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）由直線的解析式求得A（-2，0），D（0，1），B（3，0），E（0，6），從而求得OA=2，OB=3，即可求得AB=5，解析式聯(lián)立方程，解方程即可求得C的坐標；
（2）根據(jù)勾股定理分別求得AC、BC、AB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得結論；
（3）求得平移后的A點的坐標，然后根據(jù)勾股定理求得BE，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知AB=BE，據(jù)此即可求得直線l₁向上平移的單位．

解答 解：（1）如圖1，由直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x+1可知A（-2，0），D（0，1），由y=-2x+6可知B（3，0），E（0，6），
∴OA=2，OB=3，
∴AB=5；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（2，2）
故答案為（2，2）．
（2）如圖1，∵A（-2，0），B（3，0），C（2，2），
∴AC²=（2+2）²+（2+0）²=20，BC²=（3-2）²+（0-2）²=5，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²=25，
∴△ABC是直角三角形；
（3）設直線l₁向上平移b個單位后的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1+b，
此時D（0，1+b），A（-2-2b，0），
∴OA=2+2b，
∵以點A、B、E、D為頂點的圖形是軸對稱圖形，
∴AB=BE，
∵B（3，0），E（0，6），
∴AB=3+2+2b=5+2b，BE=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴5+2b=3$\sqrt{5}$，
∴b=$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$．
∴直線l₁向上平移$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$個單位后，以點A、B、E、D為頂點的圖形是軸對稱圖形．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩直線的交點直角三角形的判定，勾股定理的應用，軸對稱圖形的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．