【題目】如圖1,等邊△ABC邊長(zhǎng)為6,AD是△ABC的中線,P為線段AD(不包括端點(diǎn)A、D)上一動(dòng)點(diǎn),以CP為一邊且在CP左下方作如圖所示的等邊△CPE,連結(jié)BE.
(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段BE與AP始終相等嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由;
(2)若延長(zhǎng)BE至F,使得CF=CE=5,如圖2,問(wèn): ①求出此時(shí)AP的長(zhǎng);
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),判斷EF的長(zhǎng)是否為定值,若是請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng);若不是請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:BE=AP.

理由:∵△ABC和△CPE均為等邊三角形,

∴∠ACB=∠PCE=60°,AC=BC,CP=CE.

∵∠ACP+∠DCP=∠DCE+∠PCD=60°,

∴∠ACP=∠BCE.

∵在△ACP和△BCE中,

∴△ACP≌△BCE.

∴BE=AP


(2)解:①如圖2所示:過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE,垂足為H.

∵AB=AC,AD是BC的中點(diǎn),

∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°.

∵由(1)可知:△ACP≌△BCE,

∴∠CBE=∠CAD=30°,AP=BE.

∵在Rt△BCH中,∠HBC=30°,

∴HC= BC=3,NH= BC=3

∵在Rt△CEH中,EC=5,CH=3,

∴EH= =4.

∴BE=HB﹣EH=3 ﹣4.

∴AP=3 ﹣4.

②如圖3所示:過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE,垂足為H.

∵△ABC和△CEP均為等邊三角形,

∴AC=BC,CE=PC,∠ACB=∠ECP.

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+BCP,即∠BCE=∠ACP.

∵在△ACP和△BCE中, ,

∴△ACP≌△BCE.

∴∠CBH=∠CAP=30°.

∵在Rt△BCH中,∠CBH=30°,

∴HC= BC=3.

∵FC=CE,CH⊥FE,

∴FH=EH.

∴FH=EH= =4.

∴EF=FH+EH=4+4=8


【解析】(1)先證明∠ACP=∠BCE,然后依據(jù)SAS證明△ACP≌△BCE,由全等三角形的性質(zhì)可得到BE=AP;(2)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE,垂足為H,先依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求得∠CAD=30°,然后由△ACP≌△BCE可求得∠CBH=30°,依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可求得CH的長(zhǎng),從而可求得BH的長(zhǎng),然后在△ECH中依據(jù)勾股定理可求得EH的長(zhǎng),故此可求得BE的長(zhǎng),最后根據(jù)AP=BE求解即可;(3)首先根據(jù)題意畫出圖形,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE,垂足為H.先證△ACP≌△BCE,從而得到∠CBH=30°,由含30°直角三角形的性質(zhì)可求得CH的長(zhǎng),依據(jù)勾股定理可求得FH的長(zhǎng),然后由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到HE=FH,故此可求得EF的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題:

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根據(jù)上面提供的信息,回答下列問(wèn)題:

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