Question

【題目】某藥廠銷(xiāo)售部門(mén)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果，對(duì)該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來(lái)兩年的銷(xiāo)售進(jìn)行預(yù)測(cè)，并建立如下模型：設(shè)第t個(gè)月該原料藥的月銷(xiāo)售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P＝（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個(gè)月銷(xiāo)售該原料藥每噸的毛利潤(rùn)為Q（單位：萬(wàn)元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：當(dāng)0＜t≤12時(shí)，Q＝2t+8；當(dāng)12＜t≤24時(shí)，Q＝﹣t+44．

（1）當(dāng)8＜t≤24時(shí)，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)第t（0＜t≤24）個(gè)月銷(xiāo)售該原料藥的月毛利潤(rùn)為W（單位：萬(wàn)元）

①求W關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷(xiāo)售部門(mén)分析認(rèn)為，336≤W≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷(xiāo)售的月毛利潤(rùn)范圍，求此范圍所對(duì)應(yīng)的月銷(xiāo)售量P的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】（1）P＝t+2；（2）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，W＝240；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，W＝2t2+12t+16；當(dāng)12＜t≤24時(shí)，W＝﹣t2+42t+88；②P的最小值為12噸，最大值為19噸

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)銷(xiāo)售利潤(rùn)＝銷(xiāo)售量×每噸利潤(rùn)，分段列出月毛利潤(rùn)W（元）與月份t之間的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）根據(jù)函數(shù)的增減性求得336≤W≤513時(shí)t的取值范圍，即可求得對(duì)應(yīng)的月銷(xiāo)售量P的最小值和最大值．

解：（1）當(dāng)8＜t≤24時(shí)，設(shè) P＝kx+b，

將（8，10），（24，26）代入得:，

解得，

故當(dāng)8＜t≤24時(shí)，P關(guān)于t的函數(shù)解析式為：P＝t+2；

（2）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，W＝（2t+8）×＝240；

當(dāng)8＜t≤12時(shí)，W＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；

當(dāng)12＜t≤24時(shí)，W＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；

②當(dāng)8＜t≤12時(shí)，W＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，

∴8＜t≤12時(shí)，W隨t的增大而增大，

當(dāng)2（t+3）2﹣2＝336時(shí)，

解得t＝10或t＝﹣16（舍去），

當(dāng)t＝12時(shí)，W取得最大值，最大值為448，

故當(dāng)10≤t≤12時(shí)，336≤W≤448；

當(dāng)12＜t≤24時(shí)，W＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，

∴當(dāng)t＝12時(shí)，W取得最小值448，

由﹣（t﹣21）2+529＝513，得t＝17或t＝25（舍去），

∴當(dāng)12＜t≤17時(shí)，448＜W≤513；

∴當(dāng)10≤t≤17時(shí)，336≤W≤513，

當(dāng)t＝10時(shí)，P＝t+2＝12，當(dāng)t＝17時(shí)，P＝t+2＝19，

∴此范圍所對(duì)應(yīng)的月銷(xiāo)售量P的最小值為12噸，最大值為19噸．