Question

如圖1，在正方形ABCD中，點E從點A處沿AD方向向終點D運動，同時點F以相同的速度從點D處沿DA方向向終點A運動，連接CF交對角線BD于G，連接BE交AG于點H．
（1）在點E、F相遇前，求證：四邊形EBCF為等腰梯形；
（2）設(shè)正方形的邊長為2，在運動的過程中，
①當(dāng)△DFG為等腰三角形時，求DF的長．
②求點H運動的路徑的長（寫出必要的解答過程）

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由條件可證明△ABE≌△DCF，可得BE=CF，且EF∥BC，EF≠BC，可知四邊形EBCF為等腰梯形；
（2）①因為∠BDF=45°，故只能DF=DG和DG=FG，當(dāng)DF=DG時，可得BG=BC，則可求得DG，即DF的長，當(dāng)DG=FG時，則可知DF=DA=2；
②由條件可知∠AHB=90°，可知點H在以AB為直徑的圓上，且從A點運動到兩對角線的交點，可求得其路徑為

1

4

圓周．

解答：（1）證明：如圖1，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=CD，∠BAE=∠CDF，且AE=DF，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAE=∠CDF AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE=CF，
∵EF∥BC，且EF≠BC，
∴四邊形EBCF為等腰梯形；
（2）解：
①∵BD為正方形的對角線，BC=2，
∴BD=2

2

，且∠BDA=45°，
∴DF≠FG，
只能有DF=DG或DG=FG，
當(dāng)DF=DG時，則∠DFG=∠DGF，
如圖2，

∵DF∥BC，
∴∠DFG=∠BCG，且∠DGF=∠BGC，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC=2，
∴DG=BD-BG=2

2

-2，
∴DF=2

2

-2，
當(dāng)DG=FG時，如圖3，

則∠GFD=∠GDF=45°，
∴∠FGD=90°，
即AG⊥BD，
∴G為BD的中點，
此時F點到達A點，則DF=AD=2，
綜上可知當(dāng)△DFG為等腰三角形時，DF的長為2

2

-2或2；
②在△AGD和△CGD中，

AD=CD ∠ADB=∠CDB DG=GD

，
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
又由（1）知△ABE≌△DCF，
∴∠ABE=∠DCF，
∴∠DAG=∠ABE，
∴∠BAH+∠ABE=∠BAH+∠DAG=90°，
∴∠AHB=90°，
∴H在AB為直徑的圓上，如圖4，

當(dāng)點F從點D開始運動到A點時，則H點從A點運動到正方形ABCD對角線的交點，
∴H路徑長為以AB為直徑的圓周的

1

4

，
∴H運動的路徑的長為

1

2

π．

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和弧長的計算的綜合應(yīng)用，在（1）中利用正方形的性質(zhì)證明全等是解題的關(guān)鍵，在（2）①中確定出只有兩種情況是解題的關(guān)鍵，在②中確定出H的運動路線是解題的關(guān)鍵．