Question

9．如圖，AD為△ABC的角平分線，M為BC的中點(diǎn)，ME∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E，交AC于F．求證：BE=CF．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC交EM的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠MBN=∠C，∠N=∠MFC，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得BM=CM，然后利用“角角邊”證明△BMN和△CMF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN=CF，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD=∠CAD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠BAD，∠N=∠CFM=∠CAD，從而得到∠E=∠N，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE=BN，最后等量代換即可得證．

解答 證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC交EM的延長(zhǎng)線于N，
所以，∠MBN=∠C，∠N=∠MFC，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
在△BMN和△CMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MBN=∠C}\\{∠N=∠MFC}\\{BM=CM}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△CMF（AAS），
∴BN=CF，
∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵M(jìn)E∥AD，
∴∠E=∠BAD，∠CFM=∠CAD，
∵BN∥AC，
∴∠N=∠CFM，
∴∠N=∠CFM=∠CAD，
∴∠E=∠N，
∴BE=BN，
∴BE=CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并找出一條與BE、CF都相等的線段作為過(guò)渡橋梁．