Question

如圖，拋物線l交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，-3）．將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l₁．
（1）求l₁的解析式；
（2）點M在l₁上，過點M的直線平行于x軸且交l₁的對稱軸于點P，是否存在點M，使點P、A₁、B₁、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線l₁于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出翻折變換后點A、B所對應點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線l₁的解析式；
（2）分兩種情況：點M在點P的左邊；點M在點P的右邊；進行討論根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點M的坐標；
（3）如圖3所示，所求的圓有兩個，注意不要遺漏．解題要點是利用圓的半徑表示點F（或點E）的坐標，然后代入拋物線的解析式，解一元二次方程求出此圓的半徑．

解答：解：（1）如圖1所示，設經(jīng)翻折后，點A、B的對應點分別為A₁、B₁，
依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A₁（3，0），B₁（-1，0），C點坐標不變，
因此，拋物線l₁經(jīng)過A₁（3，0），B₁（-1，0），C（0，-3）三點，
設拋物線l₁的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得a=1，b=-2，c=-3，
故拋物線l₁的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）拋物線l₁的對稱軸為：x=

b

2a

=1，
A₁B₁=4，
點M在點P的左邊，M點的橫坐標為-3，
y=（-3）²-2×（-3）-3=12，
點M的坐標為（-3，12）；
點M在點P的右邊，M點的橫坐標為5，
y=5²-2×5-3=12，
點M的坐標為（5，12）．
綜上所述，點M的坐標為（-3，12）或（5，12）；

（3）依題意畫出圖形，如圖3所示，有兩種情況．
①當圓位于x軸上方時，設圓心為D，半徑為r，
由拋物線及圓的對稱性可知，點D位于對稱軸x=1上，
則D（1，r），F(xiàn)（1+r，r）．
∵點F（1+r，r）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴r=（1+r）²-2（1+r）-3，化簡得：r²-r-4=0
解得r₁=

17 +1

2

，r₂=

- 17 +1

2

（舍去），
∴此圓的半徑為

17 +1

2

；
②當圓位于x軸下方時，同理可求得圓的半徑為

17 -1

2

．
綜上所述，此圓的半徑為

17 +1

2

或

17 -1

2

．

點評：本題考查內(nèi)容包括二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、翻折變換、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)等，涉及考點較多，有一定的難度．第（3）問中，首先注意圓有2個，不要丟解，其次注意利用圓的半徑表示點的坐標，運用方程的思想求出圓的半徑．