Question

【題目】如圖1，△ABC中，AC＝，∠ACB＝45°，tanB＝3，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，與過(guò)C且垂直于BC的直線交于點(diǎn)D，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，交折線BA－AD于點(diǎn)E，以PE為斜邊向右作等腰直角三角形PEF，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)F恰好落在CD上時(shí)，此時(shí)t的值為 ；

（2）若P與C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等腰直角三角形PEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（3）如圖2，在點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，BC上另一點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿CB方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)Q作QM⊥BC交射線CA于點(diǎn)M，以QM為斜邊向左作等腰直角三角形QMN，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一直線上，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）7.5；（2） ；（3）2、4、

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)F落在CD上時(shí)，如圖1所示，可知△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，利用幾何圖形性質(zhì)求出的長(zhǎng)，進(jìn)而 求出t的值；

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可分為三種情形，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中： ①當(dāng)0≤t＜3時(shí)，如圖2-1，利用銳角三角函數(shù)求解 的長(zhǎng)，直接利用面積公式寫函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)3≤t＜時(shí)，如圖2-2，利用三角函數(shù)求解 的長(zhǎng)，直接利用面積公式寫函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)≤t≤12時(shí)，如圖2-3所示，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解的長(zhǎng)度，利用梯形面積公式寫函數(shù)關(guān)系式；

（3）點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，滿足題意條件的有三種情形，①當(dāng)EF與NQ落在同一直線上時(shí)，得△PEQ為等腰直角三角形，利用等腰三角形性質(zhì)及的長(zhǎng)列方程求解，如圖3-1所示．當(dāng)PF與MN落在同一直線上時(shí)，如圖3-2所示，得△PQF為等腰直角三角形，利用等腰三角形性質(zhì)及的長(zhǎng)列方程求解，③當(dāng)PE與QM落在同一直線上時(shí)，如圖3-3所示，直接利用長(zhǎng)度列方程求解即可．

解：（1）由題意可知，△ACD為等腰直角三角形，

∴AD=CD= =

如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，

則△ACG為等腰直角三角形．

∴AG=CG==

在Rt△ABG中， tanB

∴BC=BG+CG=3+9=12．

為等腰直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)F落在CD上時(shí)，△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，

∴DE=DF= EF，PC=CF=PF．

∵△PEF為等腰直角三角形，EF=PF，

∴PC=CF=DF=CD=，

∴BP=BC-PC=12-=

∴當(dāng)點(diǎn)F恰好落在CD上時(shí)，t=s．

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中： ①當(dāng)0≤t＜3時(shí)，如圖2-1所示．

PE=BPtanB=3t，

S=

②當(dāng)3≤t＜時(shí)，如圖2-2所示．

S=

③當(dāng)≤t≤12時(shí)，如圖2-3所示．

設(shè)EF、PF分別與CD交于點(diǎn)K、J，

同理可得△DEK、△PCJ均為等腰直角三角形，

∴DK=CJ=PC=12-t，

KJ=CD-DK-CJ=

∴S=（KJ+PE）PC=（2t-15+9）（12-t）=．

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：

（3）在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

①當(dāng)EF與NQ落在同一直線上時(shí)，如圖3-1所示．

此時(shí)，△PEQ為等腰直角三角形，則PQ=PE=3t．

∴BC=BP+PQ+CQ=t+3t+2t=12， ∴t= 2 s；

②當(dāng)PF與MN落在同一直線上時(shí)，如圖3-2所示．

此時(shí)，△PQF為等腰直角三角形，則PQ=QF=CQ=2t．

∴BC=BP+PQ+CQ=t+2t+2t=12， ∴t=s；

③當(dāng)PE與QM落在同一直線上時(shí)，如圖3-3所示．

∴BC=BP+CQ=t+2t=12， ∴t=4 s．

綜上所述，滿足條件的t的值為：或或．