Question

如圖1，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊上兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H
（1）求證：AG⊥BE；
（2）如圖2，連DH，若正方形的邊長為4，則線段DH長度的最小值是

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ABE=∠DCF，再利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠DAG=∠DCF，從而得到∠ABE=∠DAG，再根據(jù)∠DAG+∠BAH=90°求出∠BAE+∠BAH=90°，然后求出∠AHB=90°，再根據(jù)垂直的定義證明；
（2）取AB的中點O，連接OD、OH，利用勾股定理列式求出OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OH，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出O、D、H三點共線時，DH最�。�

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAD=∠ADC AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD ∠ADB=∠CDB DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE；

（2）取AB的中點O，連接OD、OH，
∵正方形的邊長為4，
∴AO=OH=

1

2

×4=2，
由勾股定理得，OD=

42+22

=2

5

，
由三角形的三邊關系得，O、D、H三點共線時，DH最小，
DH_最小=2

5

-2．
故答案為：2

5

-2．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，難點在于（2）作輔助線并確定出DH最小時的情況．