Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，∠A=47°，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以x厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上以y厘米/秒的速度由C點向A點運動．
（1）若x=y=3，經(jīng)過1秒后，此時△BPD與△CQP是否全等？請說明理由．
（2）若x≠y，當x=3，y為何值時，能夠使△BPD與△CQP全等？請說明理由．
（3）是否存在點P，使△BPD為等腰三角形？若存在，求此時∠BPD的度數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定,等腰三角形的判定與性質

專題：動點型

分析：（1）先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根據(jù)等邊對等角求得∠B=∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；
（2）因為x≠y，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4，根據(jù)全等得出CQ=BD=5，然后根據(jù)運動速度求得運動時間，根據(jù)時間和CQ的長即可求得Q的運動速度；
（3）有三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質求得∠B的度數(shù)．需要分類討論：∠B=∠BPD和∠B=∠BDP兩種情況．

解答：解：（1）①∵t=1秒，
∴BP=CQ=3厘米
∵AB=10厘米，D為AB中點，
∴BD=5（厘米）
又∵PC=BC-BP=8-3=5（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD與△CQP中，

BP=CQ ∠B=∠C BD=PC

，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）∵x≠y，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴點P的運動時間t=

BP

3

=

4

3

（秒），
此時y=

CQ

t

=

5

4 3

=

15

4

（厘米/秒）．

（3）存在點P，使△BPD為等腰三角形．理由如下：
∵△ABC中，AB=AC，∠A=47°，
∴∠B=∠C=

180°-47°

2

=66.5°．
①當∠B=∠BPD=66.5°時，△BPD為等腰三角形
②當∠B=∠BDP=66.5°時，△BPD為等腰三角形，此時∠BPD=180°-2×66.5°=47°．
綜上所述，∠BPD的度數(shù)是66.5°或47°時，△BPD為等腰三角形．

點評：本題考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，以及數(shù)形結合思想的運用，解題的根據(jù)是熟練掌握三角形全等的判定和性質．