Question

【題目】二次函數(shù)y=（x﹣1）2+k分別與x軸、y軸交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，直線y=﹣ x+2經(jīng)過點(diǎn)B，且與y軸交于點(diǎn)D．
（1）如圖1，求k的值；

（2）如圖2，在第一象限的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP，過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，過E作EF⊥AP于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作平行于x軸的直線分別與直線FE、PE交于點(diǎn)G、H，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段GH的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)G作平行于y軸的直線分別交AP、x軸和拋物線于點(diǎn)M、T和N，tan∠MEA= ，點(diǎn)K為第四象限拋物線上一點(diǎn)，且在對稱軸左側(cè)，連接KA，在射線KA上取一點(diǎn)R，連接RM，過點(diǎn)K作KQ⊥AK交PE的延長線于Q，連接AQ、HK，若∠RAE﹣∠RMA=45°，△AKQ與△HKQ的面積相等，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：在一次函數(shù)y=﹣ x+2中，令y=0，得：0=﹣ x+2，

解得x=3，

∴B（3，0）．

令x=0得y=2，

∴D（0，2）．

將B（3，0），代入y=（x﹣1）2+k得：4+k=0，

∴k=﹣4．

（2）解：如答圖1所示：

∵PE⊥x軸，EF⊥AP，

∴∠PEA=∠EFA=90°

∵∠PEF+∠FEA=90°，∠PAE+∠FEA=90°

∴∠PEF=∠PAE．

∵DH∥x軸 HE⊥x軸

∴∠HDO=∠DOE=∠PEO=90°

∴四邊形DOEH為矩形．

∴HE=2．

∴ = ，

∴ = ．

∴d=2t﹣6．（t＞3）．

（3）解：∵∠TGH=∠GTE=∠TEH=90°，

∴GHET為矩形．

∴GH=d=ET=2t﹣6．

∵tan∠MEB= ，

∴ = ，

∴MT=3t﹣9．

∵ = ．

∴ = ，

解得t=4．

∴P（4，5）．

∴AT=AE﹣ET=t+1﹣（2t﹣6）=7﹣t=3．

∴M（2，3）

把x=2代入y=x2﹣2x﹣3中，得N（2，﹣3）

∴MT=TN=AT，∠MAT=90°．

∵∠RAE﹣∠RMA=45°，

∴∠RAE﹣45°=∠RMA，

∴∠RAM=∠RMA，

∵S△AKQ=S△HKQ，作HW⊥KQ．

∴AK∥HW，AK=HW，

∴四邊形AKWH是矩形，

∴∠RAH=∠HAK=90°，

∴∠RAM=∠HAN．

∵A（﹣1，0），H（4，2），N（2，﹣3），

∴AH=HN= ，

∴∠HAN=∠HNA=∠RAM=∠RMA．

又∵AM=AN，

∴△RAM≌△HAN，

∴AR=AH．

過R作RL⊥x軸，

∴∠RLA=∠AEH=90°，

∵∠RAL+∠HAE=90，∠HAE+∠AHE=90，

∴∠RAL=∠AHE，

∴△ARL≌△AHE．

∴RL=AE=5，AL=HE=3

∴R（﹣3，5）．

由∠RAM﹣∠RMA=45°可知∠RAV=∠RVA，∠RMT=∠HAE，tan∠RMT=tan∠HAE= ，V（ ，0），

直線MR的解析式為y= x﹣2，直線AK的解析式為y=﹣ x﹣ ，

交點(diǎn)R（﹣ ， ）．

【解析】（1）先求出一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求得k的值。
（2）根據(jù)已知PE⊥x軸，EF⊥AP，得出∠PEA=∠EFA=90°，再根據(jù)同角的余角相等，證得∠PEF=∠PAE．根據(jù)矩形的性質(zhì)得出HE=2．然后利用三角形函數(shù)的定義得出線段成比例，建立方程，可求出d與t的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍。
（3）利用（2）中求得的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)矩形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義先求出點(diǎn)P和點(diǎn)M的坐標(biāo)，由MN平行y軸，因此將x=2代入二次函數(shù)解析式，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可得出MT=TN=AT，添加輔助線作HS⊥KQ．去證明四邊形AKSH是矩形，推出∠RAM=∠HAN，再證明△RAM≌△HAN，得出AR=AH．過R作RL⊥x軸，易正明△ARL≌△AHE．得出RL=AE=5，AL=HE=3，可得到點(diǎn)R的坐標(biāo)，再求出直線MR的解析式和直線AK的解析式，即可求出兩直線的交點(diǎn)R的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．