【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的切線互相垂直,垂足為D.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)過點O作線段AC的垂線OE,垂足為E(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(3)若CD=4,AC=4,求垂線段OE的長.
【答案】(1)(2)見解析;(3)
【解析】試題分析:(1)連接OC,由CD為圓O的切線,根據(jù)切線性質得到OC與CD垂直,又AD與CD垂直,根據(jù)平面上垂直于同一條直線的兩直線平行得到AD與OC平行,由平行得一對內錯角相等,又因為兩半徑OA與OC相等,根據(jù)等邊對等角,得到一對相等的角,利用等量代換,即可得到∠DAC=∠OAC,即AC為∠DAB的平分線;
(2)以O為圓心,以大于O到AC的距離為半徑畫弧,與AC交于兩點,分別以這兩點為圓心,以大于這兩點之間距離的一半長為半徑在AC的另一側畫弧,兩弧交于一點,經(jīng)過此點與點O確定一條直線,即為所求的直線,如圖所示;
(3)在直角三角形ACD中,由CD和AC的長,利用勾股定理求出AD的長,再根據(jù)垂徑定理,由OE與AC 垂直,得到E為AC中點,求出AE的長,由(1)推出的角平分線得一對角相等,再由一對直角相等,根據(jù)兩對對應角相等的兩三角形相似,由相似得比例即可求出OE的長.
試題解析:(1)證明:連接OC.∵CD切⊙O于點C,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC.∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∴∠OAC=∠DAC,∴AC平分∠DAB;
(2)解:點O作線段AC的垂線OE如圖所示:
∴直線OE所求的直線;
(3)解:在Rt△ACD中,CD=4,AC=4,∴AD===8.∵OE⊥AC,∴AE=AC=2.∵∠OAE=∠CAD,∠AEO=∠ADC,∴△AEO∽△ADC,∴=,∴OE=×CD=×4=.即垂線段OE的長為.
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【題目】按照下列要求完成畫圖及相應的問題解答
(1)畫直線;
(2)畫 ;
(3)畫線段 ;
(4)過點畫直線的垂線,交直線于點 ;
(5)請測量點到直線的距離為__________ (精確到0.1 ) .
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【題目】如圖①,已知點M是線段AB上一點,點C在線段AM上,點D在線段BM上,C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動,運動方向如箭頭所示.
(1)若AB=10cm,當點C、D運動了2s,求AC+MD的值.
(2)若點C、D運動時,總有MD=3AC,則:AM= AB.
(3)如圖②,若AM=AB,點N是直線AB上一點,且AN﹣BN=MN,求的值.
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【題目】某水果店在兩周內,將標價為10元/斤的某種水果,經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤,并且兩次降價的百分率相同.
(1)求該種水果每次降價的百分率;
(2)從第一次降價的第1天算起,第x天(x為整數(shù))的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關信息如表所示.已知該種水果的進價為4.1元/斤,設銷售該水果第x(天)的利潤為y(元),求y與x(1≤x<15)之間的函數(shù)關系式,并求出第幾天時銷售利潤最大?
時間x(天) | 1≤x<9 | 9≤x<15 | x≥15 |
售價(元/斤) | 第1次降價后的價格 | 第2次降價后的價格 | |
銷量(斤) | 80﹣3x | 120﹣x | |
儲存和損耗費用(元) | 40+3x | 3x2﹣64x+400 |
(3)在(2)的條件下,若要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元,則第15天在第14天的價格基礎上最多可降多少元?
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【題目】某快遞公司有甲、乙、丙三個機器人分配快件,甲單獨完成需要x小時,乙單獨完成需要y小時,丙單獨完成需要z小時.
(1)求甲單獨完成的時間是乙丙合作完成時間的幾倍?
(2)若甲單獨完成的時間是乙丙合作完成時間的a倍,乙單獨完成的時間是甲丙合作完成時間的b倍,丙單獨完成的時間是甲乙合作完成時間的c倍,求的值.
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【題目】某單位急需用車,但又不準備買車,他們準備和一個體車主或一國營出租車公司其中的一家簽訂月租車合同.設汽車每月行駛xkm,應付給個體車主的月租費用是y1元,應付給出租公司的月租費用是y2元,y1、y2分別與x之間的函數(shù)關系圖像(兩條射線)如圖所示,觀察圖像回答下列問題:
(1)每月行駛的路程在什么范圍內時,租國有公司的車合算?
(2)每月行駛的路程等于多少時,租兩家車的費用相同?
(3)如果這個單位估計每月行駛的路程為2300km,那么這個單位租哪家的車合算?
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【題目】如圖,O是正△ABC內一點,OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′,下列結論:①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到;②點O與O′的距離為4;③∠AOB=150°;④S四邊形AOBO;⑤S△AOC+S△AOB=.其中正確的結論是( 。
A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③
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【題目】閱讀下面一段文字:
在數(shù)軸上點A,B分別表示數(shù)a,b.A,B兩點間的距離可以用符號表示,利用有理數(shù)減法和絕對值可以計算A,B兩點之間的距離.
例如:當a=2,b=5時,=5-2=3;當a=2,b=-5時,==7;當a=-2,b=-5時,==3.綜合上述過程,發(fā)現(xiàn)點A、B之間的距離=(也可以表示為).
請你根據(jù)上述材料,探究回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示1和3兩點之間的距離是 ;
(2)表示數(shù)a和-2的兩點間距離是6,則a= ;
(3)如果數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4和3之間,求的值.
(4)是否存在數(shù)a,使代數(shù)式的值最?若存在,請求出代數(shù)式的最小值,并直接寫出數(shù)a的值或取值范圍,若不存在,請簡要說明理由.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=k1x+b與反比例函數(shù)y=的圖象交于點A(m,2),B(2,-1).
(1)求這兩個函數(shù)的表達式;
(2)在x軸上是否存在點P(n,0),使△ABP為直角三角形,請你直接寫出P點的坐標.
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