【題目】如圖,雙曲線y= 經(jīng)過點A(1,2),過點A作y軸的垂線,垂足為B,交雙曲線y=﹣ 于點C,直線y=m(m≠0)分別交雙曲線y=﹣ 、y= 于點P、Q.

(1)求k的值;
(2)若△OAP為直角三角形,求點P的坐標(biāo);
(3)△OCQ的面積記為SOCQ , △OAP的面積記為S△OAP,試比較SOCQ與SOAP的大小(直接寫出結(jié)論).

【答案】
(1)解:∵雙曲線y= 經(jīng)過點A(1,2),

∴k=1×2=2;


(2)解:設(shè)P(﹣ ,m),

∵A(1,2),

∴OA2=12+22=5,AP2=(1+ 2+(2﹣m)2,OP2=( 2+m2

當(dāng)∠AOP=90°時,

∵OA2+OP2=AP2,即5+( 2+m2=(1+ 2+(2﹣m)2,解得m=±3,

∴P1(﹣6,3),P2(6,﹣3);

當(dāng)∠OAP=90°時,

∵OA2+AP2=OP2,即5+(1+ 2+(2﹣m)2=( 2+m2,解得m= ,

∴P3 ),P4 );

當(dāng)∠APO=90°時,此種情況不存在;


(3)解:∵A(1,2),

∴C(﹣9,2).

設(shè)P(﹣ ,m),則Q( ,m),

分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線,垂足分別為M、N、K、H,

∵點A、Q在反比例函數(shù)y= 的圖象上,

∴SAOM=SQON=1.

∵點C、P在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上,

∴SCOH=SPOK=9.

SOCQ=S梯形CHNQ﹣SCOH﹣SPOK,SOAP=S梯形AMKP﹣SAOM﹣SPOK

∴SOCQ﹣SOAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP,

∵梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同,

∴只要比較HN與KM的大小即可,

∵HN﹣KM=(9+ )﹣(1+ )=8﹣

∴當(dāng)m=±2時,HN=KM,即SOCQ=SOAP;

當(dāng)m>2或m<﹣2時,8﹣ >0,即SOCQ>SOAP

當(dāng)﹣2<m<2時,8﹣ <0,即SOCQ<SOAP


【解析】(1)將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出k的值。
(2)設(shè)出點P的坐標(biāo),根據(jù)點A、P、O的坐標(biāo),分別求出OA2、AP2、OP2,再分三種情況討論:當(dāng)∠AOP=90°時,得出OA2+OP2=AP2,建立關(guān)于m的方程,求解即可求出點P的坐標(biāo);當(dāng)∠OAP=90°時,則OA2+AP2=OP2,建立關(guān)于m的方程,求解即可求出點P的坐標(biāo);當(dāng)∠APO=90°時,此種情況不存在。
(3)根據(jù)點A(1,2)可得出C(﹣9,2).分別設(shè)出點P、Q的坐標(biāo),分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線,垂足分別為M、N、K、H,再由反比例函數(shù)圖像上的點的坐標(biāo)特點得出△AOM、△QON、△COH、△POK的面積,然后根據(jù)SOCQ﹣SOAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP,由于梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同,因此只需比較HN與KM的大小即可,從而分三種情況討論,可求得結(jié)論。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減; 當(dāng)k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大,以及對三角形的面積的理解,了解三角形的面積=1/2×底×高.

練習(xí)冊系列答案
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4)已知,,利用上面的規(guī)律求的值.

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