Question

【題目】如圖，在中，，若是和的平分線(xiàn)交點(diǎn)，求的度數(shù)。

若是內(nèi)任意一點(diǎn)，試探究與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由

請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問(wèn)題：

①圖中點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，若則

②如圖平分平分，若，求的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=125°；（2）∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，理由見(jiàn)解析；（3）①60；②∠DCE=90°.

【解析】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和與DB平分∠ABC，DC平分∠ACB可求得∠DBC+∠DCB的度數(shù)，再在△DBC中應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；

（2）作射線(xiàn)AD，再運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）①直接應(yīng)用（2）的結(jié)論計(jì)算即可；

②先由（2）的結(jié)論求出∠ADB+∠AEB的度數(shù)，再由CD平分∠ADB，CE平分∠ACB可求出∠ADC+∠AEC的度數(shù)，然后再運(yùn)用（2）的結(jié)論即可求出結(jié)果.

解：（1）∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=180°－70°=110°，

∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°，

∴∠BDC=180°－55°=125°；

（2）∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，理由如下：

如圖2，作射線(xiàn)AD，∵∠1、∠2分別是△ABD和△ACD的外角，

∴∠1=∠BAD+∠ABD，∠2=∠CAD+∠ACD，

∴∠BDC=∠1+∠2=∠BAD+∠ABD+∠CAD+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD.

（3）①由（2）的結(jié)論可得：∠ABD+∠ACD=∠BDC―∠A=110°－50°=60°；故答案為60；

②由（2）的結(jié)論可得：∠ADB+∠AEB=∠DBE―∠A=130°－50°=80°；

∵CD平分∠ADB，CE平分∠ACB，

∴∠ADC=∠ADB，∠AEC=∠AEB，

∴∠ADC+∠AEC=(∠ADB+∠AEB)=×80°=40°，

又∵∠DCE=∠ADC+∠A+∠AEC，

∴∠DCE=50°+40°=90°.