Question

【題目】如圖，在中，，若是和的平分線交點，求的度數。

若是內任意一點，試探究與之間的關系，并說明理由

請你直接利用以上結論，解決以下問題：

①圖中點為內任意一點，若則

②如圖平分平分，若，求的度數.

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=125°；（2）∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，理由見解析；（3）①60；②∠DCE=90°.

【解析】

（1）根據三角形的內角和與DB平分∠ABC，DC平分∠ACB可求得∠DBC+∠DCB的度數，再在△DBC中應用三角形內角和定理即可求出結果；

（2）作射線AD，再運用三角形的外角性質即可得出結論；

（3）①直接應用（2）的結論計算即可；

②先由（2）的結論求出∠ADB+∠AEB的度數，再由CD平分∠ADB，CE平分∠ACB可求出∠ADC+∠AEC的度數，然后再運用（2）的結論即可求出結果.

解：（1）∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=180°－70°=110°，

∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°，

∴∠BDC=180°－55°=125°；

（2）∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD，理由如下：

如圖2，作射線AD，∵∠1、∠2分別是△ABD和△ACD的外角，

∴∠1=∠BAD+∠ABD，∠2=∠CAD+∠ACD，

∴∠BDC=∠1+∠2=∠BAD+∠ABD+∠CAD+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD.

（3）①由（2）的結論可得：∠ABD+∠ACD=∠BDC―∠A=110°－50°=60°；故答案為60；

②由（2）的結論可得：∠ADB+∠AEB=∠DBE―∠A=130°－50°=80°；

∵CD平分∠ADB，CE平分∠ACB，

∴∠ADC=∠ADB，∠AEC=∠AEB，

∴∠ADC+∠AEC=(∠ADB+∠AEB)=×80°=40°，

又∵∠DCE=∠ADC+∠A+∠AEC，

∴∠DCE=50°+40°=90°.